1. Геометрическое пространство континуально, или, как говорили греки, "бесконечно делимо". Кстати сказать, это единственный бесконечно делимый предмет (материя таковым не является).
2. В самом общем случае это значит, что, если мы возьмём два любых элемента пространства (что бы не представляли из себя эти элементы, где бы они не находились и как бы мы не определяли расстояние и метрику), между ними всегда будет находиться хотя бы один элемент того же пространства.
3. Другими словами, все отношения в пространстве контрарны, "троичны": между любыми двумя x и y можно указать некий z.
4. Главным в этом определении является слово "между". Отметим, что оно интуитивно ясно.
5. Теперь обратим внимание на отношение между пространством и объектами в этом пространстве. С одной стороны, геометрические объекты являются частями самого пространства - это знали ещё греки. Но - частями каким-то образом выделенными. Факт выделенности геометрического объекта (круга, квадрата или части плоскости) является основанием для математического описания объекта, но сам по себе математически не описывается.
6. Чем именно геометрическая фигура отличается от числовой плоскости? Выделенность объекта - такая, какая принята в геометрии - предполагает абсолютную чёткость границы между объектом и окружающим пространством. А именно - между геометрическим объектом и окружающим его пространством нет ничего третьего.
7. То есть геометрические объекты наложены на плоскость, являются аппликациями - иначе у них существовала бы граница, о которой можно было бы говорить отдельно, помимо самих объектов и плоскости.
8. Это отношение контрадикторно: между объектом x и окружающим его пространством y нет никакого z. Их ничего не разделяет - а поскольку они всё-таки разделены, причём с абсолютной чёткостью, можно сказать, что "их разделяет ничто".
9. Эти две интуитивные предпосылки классической геометрии можно критиковать двумя разными способами. Во-первых, можно пытаться вводить те или иные виды дискретного, "квантованного" пространства, утверждая, что контрарность пространственных отношений мнима и сводима контрадикторности на некотором более глубоком уровне. Во-вторых, можно поступать наоборот, развивая учение о размытой границе геометрического объекта. Оба эти подхода уже испробованы в современной математике и далеко ещё не исчерпали своих возможностей. Однако основную проблему чистой геометрии это не решает.
10. При этом две основные предпосылки геометрии относятся к любому учению о пространстве вообще - не только математической геометрии.
11. Наконец, стоит обратить внимание на то, что "троичными" считаются внутренние отношения - внутри пространства или внутри геометрического объекта как его выделенной области. "Двоичные" же отношения оказываются внешними. Это отношения между выделенными и невыделенными областями пространства, или между разными пространствами, каждое из которых находится вне другого.
12. Ясно, что одни и те же отношения не могут обладать столь разными свойствами. Но отношения между частями пространства и отношения между пространством и объектами в нём - это действительно разные отношения.
13. Точки являются частями пространства. Если удалить из пространства часть точек, это будет уже не то пространство. Предполагается, что никаких удалений или добавлений частей в пространство делать нельзя. Другими словами - это чистое отношение "часть-целое".
14. Но выделение в пространстве областей никак не влияет на пространство. Появление или исчезновение геометрических объектов абсолютно не меняет ничего в пространстве. Геометрические объекты выделены в смысле принадлежности кому-то или чему-то. Это - чистое отношение принадлежности (к чему-то вне и за пределами самого пространства).
15. Вещи обладают занимаемым ими местом, "имеют место", а не наоборот.
16. Собственно говоря, именно обладание пространством, "имение места", и есть прообраз всякого обладания.
17. Изначальная geometria - это, собственно, землемерие, "разметка территории для обозначения прав собственности". Бинарная природа границы тоже осознавалась и отмечалась "термами" - двуликими столбами.
18. Контрарные, троичные отношения синтагматичны. Это отношения соединения чего-то с чем-то. При этом соединяющее начало входит в в отношение на правах третьего элемента.
19. Контрадикторные, двоичные отношения парадигматичны. Это отношения разделения и отделения чего-то от чего-то. При этом разделяющее начало не входит в отношение.
20. Во времени дело обстоит как раз наоборот. "Точки времени" именно контрадикторно отличаются друг от друга (один момент времени не есть другой), а вот объекты во времени от "самого времени" не отличаются: ("быть" значит "быть сейчас", "отличающееся" от времени просто не существует).
Свойства пространства:
Связь с собой - контрарная (3)
связь с объектами - контрадикторная (2) - пространство отлично от объектов.
Свойства времени:
Связь с собой - контрадикторная (2) - время отлично от себя
связь с объектами - контрарная (3) - время не отличается от объектов
ПРОСТРАНСТВО ЕСТЬ ТО, ЧТО ИМЕЕТ СВОЙ ПРЕДЕЛ ВНЕ СЕБЯ (находится в себе)
ВРЕМЯ ЕСТЬ ТО, ЧТО ИМЕЕТ СВОЙ ПРЕДЕЛ ВНУТРИ СЕБЯ (находится вне себя)
)(
