525. МАТЕМАТИКА-ЛАЙТ

Чьи слова, не помните?

да нету тут Акеллы...
а Табаки есть!

Акела, может, и не промахнулся. Просто у него не было цели попасть туда, куда нам надо. Тем хуже для Акелы.

Замечу лишь из практики - нынешние учебники для начальной школы еще круче. К примеру рецепт приготовления учебников по математике Петерсон и информатике Горячева. Тупо списать учебники для старших классов и выкинуть из них определения. Это ведь так сложно - строгие определения.
В итоге невразумительная куча, которую можно решить только так, как показал учитель. Учитывая что типичный учитель младших классов соответствующую дисциплину старших просто не способен осилить, все сводится к проверке заученных шаблонов. Альтернативные варианты решений приводят учителей в ступор. Ну а то что многие задачи из этих учебников имеют несколько разных правильных ответов, далеко за гранью способностей преподавателей.

В конце я бы предостерёг людей, имеющих высшее математическое образование от ненужной жестокости. То, что вам кажется естественным, не очень естественно. Это ваша конституционно-генетическая особенность. В целом она свидетельствует о более высоком интеллекте особи, но далеко не в каждом индивидуальном случае, а высокий интеллект заключается, между прочим, и в том, чтобы уметь встать на другую точку зрения.

Все так, но это если говорить о всех. Если говорить о малой доле людей, которым учебник Колмогорова мил (а он, кажется, был неплох, хотя я как-то не помню своего сопротивлениея от определения вектора; прочел, оттранслировал в тактильно-кинетическое понятие переноса и постарался запомнить слова, чтоб отвязались), так вот тем людям важно обучить людей, вместе с которыми они могли бы строить ракеты (ну и покорять Енисей, по вкусу), им математика в школе важна.

Определение вектору дал не Холмогоров, а некая местечковая тройка талмудистов :).

Но ведь спорить с этим было бы как-то... странно?

Припоминаю - давно это было! - что в разных дисциплинах давали разные определения по сути одним и тем же явлениям, т.е. прежде всего в геометрии и в физике. И это как-то корректировало ситуацию. Т.е. "местечковый" вектор был отнюдь не единственно возможным в школьной программе. К тому же, мало-мальски вменяемый преподаватель мог дать и иное определение, более ему близкое. У меня в целом вовсе не сложилось впечатления, аналогичного тому, которое излагает хозяин блога, хотя учились мы с ним одновременно и, как я понимаю, не испытывали особой склонности именно к точным дисциплинам. На фоне мразама "обществоведения" и пластиночных прослушиваний "Малой земли" даже самый наукообразный, но отвлечённый бред воспринимался с радостью :).

Ах, молодость!

Какой-то флер несерьезности, та же "Малая Земля" воспринималась с усилием "по-серьезнее бы", какая-то пелена отчуждения, вроде бы и оскорбительное обращение, а вроде бы и чуть не со мной.

От учителя, наверное, зависит. Мне, с одной стороны, повезло, что не было математички с черточкой вместо понимания того, что такое производная, а, с другой стороны, и не было учителя, которому хотелось бы в рот заглядывать оттого что он имеет в себе небывалое, чуждое, не невероятно важное для тебя знание. Но математика и физика была упражнением, чем-то более или менее интересным.

нужна жестокость.

а мат-ку и физику у нас в 9,10 кл. вел парень на лишь десять лет старше нас...
хорошо вел.

вел парень на лишь десять лет старше нас
лучше сказать - "лишь на 10" и т.д.

Такие определения и учебники распространились по всему миру начиная примерно с конца 50-х. Назывался этот стиль "New Math". Более-менее отбились от этого счастья только две страны - Нидерланды и Япония. К концу 70-х почти все осознали, что с новыми программами погорячились. В Союзе как раз с запозданием всё это происходило.

Неужели Милитарев?

:) Насчёт определения я, видимо, погорячился. Это, как выяснилось позднее, достойные и уважаемые члены мат. сообщества. Может, и Милитарёв со временем окажется гланым ревнителем истинной веры на просторах Эрэфии. Со временем.

будет вам. таким определением вектора школьников готовили к преобразованиям лоренца в пространстве минковского. :)

Согласна. Кому не повезло с учителями наверное с безнадегой смотрели в книгу и видели... соответственно. Я в школе училась с 1981 по 1991 год, и по геометрии и математике имела твердые знания и твердые оценки. Другое дела что такой объем знаний мне, филологу, потом никогда не пригодился. Хотя, пару недель назад объясняла своему 14 летнему сыну что такое апории Зенона. Они нынче это в школе не проходят...

ну, а что значит -- пригодился-не пригодился? Разве можно измерить, пригодилось ли знание того кто такой Шекспир или Достоевский? Я уверен, что и математика повлияла на ваши взгляды на жизнь. Хотя бы из-за того, что благодаря ей вы больше узнали о человеке.

наука- это особый вид познавательной деятельности, направленной на выработку объективных, системно организованных и обоснованных знаний о мире.

Литература, музыка, живопись- исскусство. А вот литературоведение, теория и история музыки как раз наука. Причем здесь набор кланов- не ясно.

При том, что "Гуманитарные науки - это оксюморон"

Вообще-то я не объясняю смысл анекдота, но чтобы не было обид, видимо, надо.

Наука – не синоним работы ума. Наука начинается с научного подхода и объективных критериев оценки. И последующего из этого образа деятельности, моделей и абстракций.

И в искусстве и в критике и в теории есть работа ума. Бывает, используются и анализ и систематизация и практики и навыки. Но всё упрётся во вкус и внесистемные связи.

У нас была замечательная учительница Людмила Ивановна Синельникова. Знаете как просто и эффективно научить детей математике ?
Рассказываю. Урок. 15 минут вводная. Дальше кидается задачка. Трое первых решивших получают плюс. Три плюса=5 баллов в журнал.Потом следующая. Конкуренция жестокая. Мысль обгоняла не только перо, но и речь.За четверть исписывалось примерно две тетради А4 по 96 листов. После такого натаскивания весь первый курс я на матане спал. И мне было дико наблюдать, когда на первом курсе ТЕХНИЧЕСКОГО вуза были экстренно введены спецкурсы по дифисчислению, поскольку примерно 40 процентов студентов не могли в принципе понять о чем идет речь на физике !

согласен с Вами на 10000000000000%, коллега. ныне весьма низок уровень преподавания. но здесь и власть со своим поганым телевизором виновата. вместо учебных занятий по ящику гоня порнуху

Отнюдь. Я в школьные годы порнухи немало насмотрелся, а по телеящику вообще ничего не смотрел. И власть тогда была ровно та же.
Семья. Только в семье закладываются основы. И никакая власть тут ничего сделать не может и не должна.

власть то может, только многим такая власть не понравится.

Регулярно в своей работе использую книги, написанные группой авторов.
Например Роберт Уолтерс, Майкл Коулс, Фабио Клаудио Феррачати, Роберт Рей, Дональд Фармер SQL Server 2008. Ускоренный курс для профессионалов. Accelerated SQL Server 2008 http://www.ozon.ru/context/detail/id/4138567/
Никаких проблем не замечал. Скорее наоборот.

Учебник математики, по которому учился я, бы списан с немецкого учебника 30-х. Его лишь сильно упростили.
Фамилии авторов другие, укзали, как это и было при СССР липовых авторов, как и с автоматом Калашникова.
А математика основа мышления. Даже если половина её не освоит. Люди лишь те, ктосмогут сдать этот курс хотя бы на тройку.Ничего сдавали.
Я вступительные по математике сдал на пять. Спасибо двум педагогам. что сделали меня человеком. Тоьок блягодаря им (и ещё учительнице немецкого) хоть немного соображаю.И никаких других вариантов стать умным у ребёнка не из элитной московской семьи, кроме изучения математики НЕ БЫЛО.
Фурсенко враг. Его ЕГЭ вредительство. Его цель - дебилизация молодёжи. А дебилы в новом мире обречены на смерть.

математика основа мышления. Даже если половина её не освоит. Люди лишь те, ктосмогут сдать этот курс хотя бы на тройку
---
Видал я математиков, и даже докторов наук, удивительно тупых к изучению иностранных языков.

Jedem das Seine

Видал я математиков, и даже докторов наук, удивительно тупых к изучению иностранных языков.


Инязы - другое полушарие мозга. У математиков зачастую левое гипертрафировано, а правое - дегрдированно.

Ну да. Только не осовив математику ребёнок не вырастет в человека Модрна. Так и останется вмире религиозных суверий. Т.е есть мистическое, религиозное и рациональное сознание. Так и останется на первой стадии.

Каким образом знание математики противоречит религиозному или мистическому мышлению? Кто вам сказал эту чушь?

Есть мистическая нумерлогия.Но тип мышления человека Модерна без набора базиных знаний и навыков не сформировать. Математические знания, особенно абстракция Высшей - идеальны, минимально необходимы.Да, нужна и физика. и биология, и нормальная филология. Но это уже менее важно.

Не нумерология, самая суть теории. Математика, поскольку она имеет дело с абстракциями, идеями находится в родстве с мистикой и теологией по своей природе. Метафизику из математики изгоняли долго и упорно, и вот результат - о чем пишет Галковский. Спросите у него, он знает)

Основа сознания модерна - Система и Метод. В биологии это выражают классификация видов, теория эволюции, в химии - таблица Менделеева, в математике - теориия множеств, с помощью которой Кантор хотел описать все явления физического мира, социальной и органической жизни. Так мы видим, что для формирования современного мышления важна картина в целом, а не отдельные знания отдельной науки.

Но ведь речь идёт у фурсенки (а мы обсуждаем его мероприятия, он власть.) не дать знанияв комплексе, а наоброт, "идеальный потербитель". С простейшими навыками, разорванным мышлением и Законом Божьим.

Посмотрите на современные суеверия: пси-оружие, энергоинформатика, биополе, торсионка. Они во-первых, материалистичны, во-вторых, технологичны. Кто становился их жертвой? Человек, учивший в школе начала анализа, закончивший институт и работавший инженегром. Почему? Потому что они говорят на знакомом языке. Как все просто! Каждый живой организм имеет поле, в котором содержится информация, они там взаимодействуют и все такое. Есть ли это рациональное мышление?
Далее, некоторые буквально веруют в волшебную силу системного анализа и, стыдно сказать, кибернетики. Всемогущая обратная связь! На этих простаках паразитируют люди, которые создают "концепции".
Какой вывод?

Мистическое сознание. До религиозного человек не дорос. Тем более до научного. Только без такого образования он тем более жертва шаманов (до священников даже не дорастёт).

Люди, которые стали жервами паранормального психоза в конце 80х - начале 90х учились в советских школах, институтах. Значит, чего-то не хватало.
Я не уверен, что эти три вида сознания образуют некий восходящий ряд. Скорее, они все перемешаны. Если знаменитый физик по уши завяз в мистике, что говорить о других?

Научное сознание удел немногих. Поэтому я ценю религию. Иначе народ преащается в жертву шаманов.

Я бы ещё добавил с системообразующим предметам русский язык.
А современная школа готовит лайт-людей.

Ещё точнее неудачников. "Рождённый проигрывать".

согласен

2) вот и хорошо.
пусть распадаются без ВМ3 на шесть равных частей (как Панарин предсказывает).
а мы Аляску с Калифорнией назад заберем.
потому что с высшей "математикой".

мы будем жить здесь-и-сейчас, которое всюду и всегда русское :)
"там" - тоже наше!

США могут кормить толпы никчёмнывх людей, как это делал Рим. Ибо страна демократическая и нужна масса голосующая как надо. Россию никто кормить не будет. Причём наши дела идут всё хуже. Чтобы просто выжить русскому молодому человеку нужны и ум и воля.

Россия ТОГДА кормила Европу в силу т.н "рикардианского парадокса". как сейчас согревает газзом. В силу имено отсталости и проедая будущее.А в этом мире надо быть умным. Здравый мысл удел немногих их хороших семей. А нескольких процентов. Прочих надо учить. Иначе погибнут и страну погубят.

1. О парадоксе тут.
http://www.apn.ru/publications/article16941.htm
2. падение рождаемости иная тема. Оно произошло вразвитых странах. Причина в т.н "эмансипации женщин".Этот эффект был известен ещё в библейские времена.

Автомат Калашникова имеет к штурмовой винтовке образца 1943 года отношение исключительно по внешнему сходству. Конструктивно они небо и земля, о чем нет никаких сомнений у вполне реальных специалистов по истории огнестрельного оружия как из США, так и из Европы.

С уважением.

Уже сам Калашников в одном интервью это признал (конечно, с оговорками)

Да ерунда. Там совсем другая компоновка коробки и иной принцип затвора. Просто SG открыла новый класс.

А вот у американцев реально собственные образцы штурмового оружия (предтечи знаменитой М16) разрабатывались пленными специалистами из Маузера, этот исторический факт хорошо описан.

Впрочем, это все оффтоп.

Я знаю. Я про то, что автомат делал бигада того же конструктора, что немецкую штурмовую винтовку.При участии Симонова.

Какой такой штурмовой винтовке 43 года?

Вальтера или Шмайсера?

Что вам известно например о том, что Хуго Шмайсер с 1946 по 1952 год работал в Ижевске на одном заводе с Калашниковым как раз по теме АК-47, и том что Калашников открыто это признал?
http://life.ru/news/53051

Сказочки про неграмотных танкистов, вдруг сваявших "вундерваффе" под руководством великого и гениального тов. Сталина - типичное явление для тогдашнего советского агитпропа.

Очень не хочется входить в глобальную дискуссию в стиле "Виктор Суворов против Максима Калашникова".

Я про конкретную модель советского автоматического оружия, про которую выше было заявлено как о "передранном" Sturmgewehr-44 (или Maschinenpistole 43 - один хрен, названия менялись из "маркетинговых" соображений).

Эта "черная легенда" никогда не поддерживалась лучшими в мире - американскими оружейниками, даже в период холодной войны, что уже говорит о ее полной несостоятельности.

Но Вы мне тут ссылку скинули в защиту своей позиции, Вы ее сами-то хоть прочитали?

Цитирую:

1. ...говорить о том, что Калашников «передрал» конструкцию у немцев, нет оснований. Но то, что Шмайссер и Калашников встречались на производстве, это точно. Он помогал осваивать новое оборудование и внедрять технологические процессы для серийного производства автомата.

2. ...сравнение внутренней конструкции и деталей говорит о том, что автоматы очень разные. К тому же Калашников начал разрабатывать свой автомат уже в 43 году, а в 46-м его образец уже проходил испытания. Так что приписывать нацистам создание прототипа АК-47 было бы ошибкой
Так что Вы хотели этой ссылкой доказать?

А вы подумайте.

Судя по всему вы ни черта не поняли.

Объясните, пожалуйста.

Обьясняю на пальцах.

1. Вы даже не знаете о каком МП43 идёт речь - Вальтера или Шмайсера. они оба конкурировали, но был выбран МП-43 Шмайсера, который впоследствии, чтоб не путать с Вальтером, переименовали в СТГ-44.

2. Испытания оба эти автомата проходили исключительно на Восточном фронте. Вполне очевидно, что образцы попали в СССР, который развернул охоту за их авторами.

3. После Войны оказался у СССР в плену только Шмайсер. он и создавал АК. Полуграмотный танкист Калашников был всего лишь прикрытием. Ну стыдно было Советам признаваться. что они сами автомат создать не могут. Вот и сочинили очередного "Стакановца".

4. Вот с базовой моделью действительно многих запутывают, чтобы ловко уходить от ответа об авторстве АК. Немцы выбрали модель Шмайсера за то что она была более технологичной, и более точно стреляла. СССР выбрала Вальтер как базу для создания АК, в силу большей доступности для чабанов из кишлаков и большей неприхотливости.
Т.е. повторилась история с СВТ. Советские призывники-чабаны винтовку ругали, немцы же и американцы винтовку хвалили. немцы вообще все трофейные СВТ поставили себе на вооружение.
А всё потому. что немцы и американцы воспитаны в том духе, что за техникой надо ухаживать. А нашим чабанам дай лом, они и его погнут. А чтобы заставить их за оружием следить....

5. СТГ44 стреляет в два раза точнее чем созданный на базе Вальтера АК.

6. Нетехнологичность самостоятельно созданного на базе Вальтера АК-46 была такова, что пришлось выдёргивать из Германии Шмайсера и капитально переделывать всю конструкцию. это в истории создания АК упоминается отдельно.

7. АК-47 был всё же настолько нетехнологичен, что пришлось ещё раз переделывать конструкцию и появился уже более-менее адекватный АКМ.

Интересная версия. Но, к сожалению, не убедительная. Спасибо.

*Я вступительные по математике сдал на пять. Спасибо двум педагогам. что сделали меня человеком.*

В этом вся и фишка. Вам достались хорошие педагоги и сделали вас человеком, а в десятках тысяч других школ педагоги сами едва понимали высшую математику и привили детям отвращение и страх - НА ВСЮ ЖИЗНЬ.

Таких педагогов в СССР было в подавляющем большинстве школ. И еадо увеличивать их число, а не лишать бедную молодёжь, как меня будущего. В этом разница СССР и рф.

///И еадо увеличивать их число, а не лишать бедную молодёжь, как меня будущего.

Бред не несите.
это в принципе невозможно. Теорию вероятности перечитайте.
Проще учебник написать грамотный, чтобы по нему даже дуб выучить мог. Самостоятельно.

и причём есть такие по математике, но запрещены, а из библиотек изьяты.

> И никаких других вариантов стать умным у ребёнка не из элитной московской семьи, кроме изучения математики НЕ БЫЛО.

И у Мартина Лютера не было в свое время возможности без латыни и теософии обойтись. Хотя время темное, кто их разберет, где у них там Москва.

> Его ЕГЭ вредительство. Его цель - дебилизация молодёжи.

Нет цели, это рефлекс. Сейчас на рельсы человечку встать проще без математики. Компьютерные науки вот, не знают как преподавать, кому как и сколько. Вроде бы не всем надо, с другой стороны и дети программы писать начинают, что рот откроешь. А про программистов корифеи так и говорят, математики им не НУНО. Как музыка. И нот современным лабарям не НУНО, они и так знают в каком месте гриф зажимать, по табам.

Педагогам спасибо, это да, подпишусь.

Мартин Лютер это человек эпохи перастания мистического сознания в религиозное. А сегодня выжить в мире молжет ишь человек с сознанием рациональным. Ну или люмпен на велфере в в Новом Риме. Но русские не граждане Новго Рима.

Цель - дебилизация молодёжи.
Неграмотными управлять, самое то их цель.
чтобы, когда вырастут, вопросов не задавали.

Скорее всего, это такой же доктор физмат наук, как и путин - дипломированный юрист. Ни один действительно знающий и любящий свое дело специалист не станет ратовать за столь нелепые ограничения - тем более до сих пор вышка успешно преподавалась в старших классах и никто от нее особо не страдал. Со своей стороны могу сказать (я закончила примат), что на первом курсе лично мне очень мешал факт незнания комплексных чисел (которые сейчас в ряде школ проходят в 8 классе). Если бы я не умела к тому же находить первообразную или ней дай Бог дифференцировать - то и соваться не следовало бы туда. А факультативные занятия не спасут - многие школьники до конца 11 класса не знают, куда будут поступать после школы- а в итоге время оказывается упущенным, и последствия плачевными.

да. только в 10-м переориентировался с истории на кибернетику.

А потом - сразу на Физфак ЛГУ, после которого - в Физтех Йоффе? Молодчина.

мы не про фурсенко.
про себя. выбор перед выпуском из школы...

Пардон, не сообразил, что в начале 60-х кибернетика была ещё продажной девкой.

Кстати, нормальный поворот - из истории в системостроительство. Это лучше, чем из математики, с которой кибернетика (в форме программирования) ничего общего не имеет.

Математиков надо выращивать с детства - чем раньше, тем лучше. С 8-го класса - поздно. По вышке в школе - должно быть 3 программы : для гуманитариев - никакой, для будущих инженеров - в физической интерпретации (скорость, угол наклона), для математиков-физиков (шизоидов) - фундаментальный подход, начиная с последовательностей и т.п.

Необходимо дифференцировать программы. Кому-то тригонометрия не нужна, а кому-то и по латыни с греческим достаточно самого краткого курса - "чтоб эпиграммы разбирать".

Нет, Фурсенко как раз настоящий доктор-физик. Кажется, он работал у нобелиата Гинзбурга.

самое главное - это запретить историю :)

Что нужно изучать в первую очередь - это математику, язык и литературу
---

Ну и как же Вы мыслите изучение литературы, коли история будет запрещена?

Ну ты и сказанул. Историю, говоришь, запретить? Ну-ну. Представь себе ребенка, который решил например потрогать горячий утюг, обжегся. а через месяц забыл, и опять потрогал. Цивилизация - это ребенок, а процесс "забывания" как раз запуститься, если отменить историю. Также нельзя конечно трогать и математику. Убрать вышку - это сделать шаг назад, еще один.

Когда-то преподаватель физики, теперь вуза, сказал, что учебник по физике написан плохо из-за какой то американьской программы. Денюшку немного людей поделило. Думаю в школах на учителей по математике обижены биологички, физруки, обэжешники, ну и так далее. Доступ то ко внеурочным прикрыт. Поэтому учителя и рады.
- У себя дома я все объясню. 500 рэ.
Учебником по истории и литературе от ДЕГа думаю всей семьей вся страна по вечерам зачитывалась бы.
зы. в полоску)))))

Тоже заметил. Было бы интересно на последнюю страничку посмотреть.
Ну и психографологическую экспертизу. Отсутсвие у "д" и "у" больших выкрутасов, тоненькие буквы, предельно простая "Д". Буквы прыгают, всегда над строчкой. Наклон вправо.

Ой, да ну вы - "психографологическую экспертизу". Просто в рисунок письма вглядеться. 6-я и 9-я шкала, полагаю.

Написано крупным почерком гения.

Начиная примерно с середины ХХ века преполавание математики и физики в школе намеренно усложняется, так что бы его не могли освоить многие. Причем, преподавание построено таким образом, что его адекватно осваивают люди более способные к начетничеству, чем к быстрому гибкому мышлению. Причины ухода математики из математики мне не понятны. А Фурсенко специализировался по машинным вычислениям - там как раз математика 2 + 2 ....

Ясно что стране нужны рабочие. Или сидячие.

а я знаю что причина это Ж*ДЫ, псевдорусскiе Скопцы, Колмогоровы и Кикоины и вовсЬ п*йсатые мухлёвщики Канторовичи и Ландау
...таланты свЬтящiе отражённымъ свЬтомъ... кстати гдЬ великiе еврейскiе математики и физики изъ Йемена и Турцiи, гдЬ евреи жили почти всЬгда? да ужъ кстати и инженеры?

это наблюдение справедливо не только для математики.
Набор наукообразных "измов" и дурацких ложных теорий, а также выпячивание в авторитеты "серь" - основа программ не только школы, но и ВУЗа. В реальной жизни пришлось (и приходится) фактически учиться всему самостоятельно, за исключеним правописания/рус.языка (без литературы). Все обучение оказалось полезным как а).гимнастика ума, б).для общения и понимания людей с в/о.

К сожалению, ключевое сравнение в посте откровенно неудачно. Речь об этом: "У очень многих людей – НЕТ МУЗЫКАЛЬНОГО СЛУХА. И это не болезнь, не уродство, а генетическая особенность. Её нельзя ликвидировать. Никак".

Так вот: тут нет никакой "генетической особенности". Имеет место прямая противоположность: на самом деле музыкальный слух можно развить у практически любого человека! Это, в общем-то, общеизвестный факт, даже странно, что Дмитрий Евгеньевич до сих пор об этом ничего не слышал.

Причем подтверждается это элементарно: дело в том, что в мире существуют т.н. "тонические языки", т.е. языки, в которых слова различаются не только по тембру, но и по ВЫСОТЕ звука! Например, въетнамский язык. То есть для въетнамца слово "мама", произнесенное низко и высоко - это два РАЗНЫХ слова. Неудивительно, что в результате среди въетнамцев практически все обладают развитым музыкальным слухом.

Соответственно, музыкальный слух развивается практически у каждого, даже ВЗРОСЛОГО человека при помощи известных "упражнений Леонтьева".

"Неудивительно, что в результате среди въетнамцев практически все обладают развитым музыкальным слухом."
Была довольно нашумевшая статья в Nature, что способность выучить тональный китайский язык коррелирует с полиморфизмом одного гена, причем сильно коррелирует. У китайцев, разумеется, преобладает "нужный" вариант этого гена.

Читайте википедию, помогает после путешествий с Дроздовым.

Музыкальный слух — совокупность способностей, необходимых для сочинения, исполнения и активного восприятия музыки.

Музыкальный слух подразумевает высокую тонкость восприятия как отдельных музыкальных элементов или качеств музыкальных звуков (высоты, громкости, тембра), так и функциональных связей между ними в музыкальном произведении (ладовое чувство, чувство ритма, мелодический, гармонический и др. виды слуха). - взято из википедии.

При чём тут бедные вьетнамцы с их тоновым восприятием некоторых слов своего языка? Чтобы по тону различать звуки не нужен музыкальный слух. Или они оперными ариями общаются? Произнесите "Ну, ни фига себе!" на низких тонах, повыше, ещё повыше, при этом чуть изменяя интонацию - и вы получите совершенно разные по смыслу выражения (слова). Во французской речи есть огромное количество омофонов - слов, которые пишутся по-разному, означают разное, но произносятся одинаково. Есть смешная французская поговорка. Начинается так: "Си-си си, си...." Состоит только из слов произносимых как "си". Целое предложение. За счёт повышения и понижения тона, интонаций и ритма фраза становится понятной. Музыкальный слух тут ни при чём.

Вы перепутали как раз с китайской поговоркой, и не поговоркой а стихом.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D0%B8_%D0%A8%D0%B8_%D1%88%D0%B8_%D1%88%D0%B8_%D1%88%D0%B8

Si six scies scient six cyprès, six cent scies scient six cent cyprès

Китайцы и вьетнамцы не общаются оперными ариями, у них всего лишь тонические языки. И с музыкальным слухом у них у ВСЕХ все в порядке. Sapienti sat.

Музыкальный слух - это много больше, чем различие по высоте тона тех или иных звуков. Поэтому я и привёл тут цитату из википедии. По случаю словлю вьетнамца и заставляю его повторить насвистанную мною мелодию. Сообщу о результатах.

Словите китайца - это в силу известных причин значительно проще :))

Ох, Алексей... проверяйте себя хоть иногда. Не существует "тонических языков".

А на мой взгляд пример вполне корректный и яркий - ну, насчет "никак" Дмитрий Евгеньевич погорячился - просто специальные методики это несколько из другой оперы - так можно и до рассуждений о неиспользуемом 80-процентном потенциале мозга дойти и до вроде как заложенных в каждом паранормальных способностях.

и учебники были не такие заумные как в перестроечные годы. кому-то нейметься бюджет попилить ВСЕГДА.

Я сам учился по этим учебникам, и при этом хорошо представляю себе как то, что было до них, так и то, что было после них. Считаю, мне очень повезло, что я учился именно по этой программе. Все те учебники были написаны самыми лучшими методистами того времени. Я хорошо знал лично З.А.Скопеца, которого "в миру" называли Захаром Александровичем. (В книгах он значился как Залман Алтерович.) Это был специалист экстра-класса -- сейчас таких просто уже нет. Учебник геометрии был написан очень продуманно, там "комар носа не подточит". Самой лучшей была вообще его "пробная" версия -- у нас дома имелся авторский экземпляр без обложек. И я именно этот учебник детально проработал ещё в 8-м классе, после чего далее мог решать задачи просто "с закрытыми глазами".

Справедливости ради надо признать, что уровень был столь высоким, что это порождало трудности: учителя-то были подготовлены по старым методикам! И у них на самом деле постоянно возникал "комплекс неполноценности". Нужно было просто немного выждать, чтобы произошла переподготовка. Да, возможно, что уровень усвоения временно бы немного снизился, но тут явно "овчинка стоила выделки". А так получилось, что вместо блестящего "Мерседеса" пересели даже не на "Жигули", а на какой-то странный "драндулет", собранный наполовину из "Жигулей", а наполовину из "Запорожца". До сих пор ездят на этой "колымаге": учебник Погорелова -- это шаг назад.

Причём уровень падает год от года, и сейчас он уже дошёл "до ручки". Например, в тех учебниках, по которым я учился, имелись ясные определения тригонометрических функций. Их достаточно было один раз освоить. А сейчас вместо этого вводят определения по-дикому -- сначала для острых углов через треугольники, потом распространяют на другие углы. Это громоздко и совершенно ужасно. А первокурсников приходится доучивать, чем я ежегодно занимаюсь!

Вот очень многие почему-то не понимают, по какой причине отказались от старого определения вектора. Да потому, что оно неверное, и такое "авторитетное" издание как "политехнический словарь" просто даёт упрощённую и неверную информацию. Вектор только задаётся направленным отрезком, но не может быть с ним отождествлён. Как раз старое определение было никуда не годным, так как приучало людей врать, говорить то, что явно приводит к противоречию. И в таком стиле до сих пор многие мыслят, отождествляя разные вещи, которые как-то между собой связаны. Из-за этого постоянно возникает путаница в головах, выходящая далеко за пределы математики.

Я считаю, что никаких специфических математических способностей просто не существует. Все препятствия на пути к постижению математики имеют чисто психологические корни. Для того, чтобы "новая программа", как её тогда называли (то есть то, что было в обсуждаемых учебниках) восторжествовала, нужно было просто заменить плохие и несовершенные представления о математических объектах на хорошие и совершенные. В этом смысле легче всего было бы научить того, кто ничего не знает. Я сам много раз на практике убеждался в том, что люди без подготовки, без каких-то представлений, намного лучше усваивают материал нежели те, у кого в голове сидят сведения на уровне "политехнического словаря".

Хотя я сам являюсь профессиональным математиком, я не считаю, что у меня есть к этому делу какие-то особые способности. Да, я могу осваивать материал "пошагово", постепенно вникая, а потом достигая полного понимания. Но это вещь совершенно общая -- она к математике не имеет отношения. Многие же привыкли постигать всё "цельным куском". А это невозможно по самой природе предмета. То дискомфорт, который возникает в процессе освоения нового, возникает у всех, и он совершенно нормален. Единственная проблема в том, чтобы осознать необходимость с этим смириться.

Поэтому на самом деле здесь важны только две вещи: умение (и желание) говорить правду, а также умение подчиняться. Больше за всем этим ничего не стоит. Тот, кто решается временно принести в жертву понижение самооценки, вскоре получает в награду чёткое и совершенное понимание основ. Которое, к сожалению, отсутствует даже у многих специалистов, которые учились по другим методикам. Содержательные задачи они как-то решают, но при этом не знают самого главного, что нужно знать: "откуда что берётся".

уровень начал падать с Хрущева и везде.
Психология "ЕГЭ" стала распространяться в т.ч. в мединститутах задолго до 80-х.
Технология [ "стимул" (симптом) - "реакция" (лекарство) ].
как у собак Павлова.

при этом утрачивалась целостность системы знания об организме,
патологиях, их причинах и методах лечения.

Тоже самое сейчас почти везде, в частности в экономике.
т.н. "макроэкономика" вообще сплошное надувательство.
пузырей.

знать это надо.
а подчиняться всему этому - ни в коем разе.

**Тот, кто решается временно принести в жертву понижение самооценки, вскоре получает в награду чёткое и совершенное понимание основ. Которое, к сожалению, отсутствует даже у многих специалистов, которые учились по другим методикам. Содержательные задачи они как-то решают, но при этом не знают самого главного, что нужно знать: "откуда что берётся".**

Вообще-то, для подавляющего большинства людей важны именно "содержательные задачи". Если проще освоить математику через понимание основ "не вполне правильное", то это именно то, что нужно. А на самом деле оно не неправильное, а просто - ИНОЕ, учитывая наличие разных подходов к обоснованию математики. Вы здесь демонстрируете типичный подход замкнутого в своей специальности эксперта: "Миру провалиться, а мне чаю попить". "Пусть рухнет мир, но восторжествует правосудие" и т.д.

> для подавляющего большинства людей важны

Вот тут, мне кажется, имеет место одно из самых распространённых заблуждений.

Я такую позицию встречал очень часто: люди, изучающие математику, начинают говорить две вещи. Что у них нет "математических способностей", и что им это всё "не нужно" или "не пригодится". Я считаю, что здесь люди себя крайне недооценивают в одном отношении (я-то знаю, что постичь математику может кто угодно), и сильно переоценивают в другом. А именно, берутся судить о "способностях", в то время как это сложный вопрос, а также о том, что якобы "нужно". Последнего вообще никто не знает.

Возможно, имеется в виду что-то типа "применения на практике"? Но ведь знание основ применяется на практике уже потому, что при сдаче экзаменов и при решении задач на этой базе можно вспомнить или вывести всё остальное. А вот задачи на преобразование сложных тригонометрических выражений по каким-то заученным правилам -- это не применяется абсолютно нигде и никем.

> проще освоить

Давайте сначала договоримся о критерии усвоения. Что считать таковым? В зависимости от этого и подход будет разным. Тот подход, за который я выступаю, удовлетворяет вот какому критерию: помнить нужно минимум абсолютно необходимых вещей, усвоенных досконально. А остальное уже -- "по вкусу" и "по ходу дела". При этом как можно меньше засоряется голова. Усваивать надо не всё, а только то, без чего нельзя. Заставлять заучивать лишние вещи просто как сведения -- это издевательство над учениками. Да, их можно загружать упражнениями -- на базе того, что они знают. Но в старой школе делался акцент на зазубривание огромного количества непонятной ерунды!

> просто - ИНОЕ

Я всецело приветствую любые подходы. Их и в самом деле много. Единственное ограничение -- нельзя говорить прямую неправду. Если нужно содержательное понимание -- нет проблем. "Вектор можно представлять себе в виде направленного отрезка" -- вот это правда. Так говорить можно и нужно -- это чистая правда. И ученик в итоге ничего не потерял. А говорить "вектором называется направленный отрезок" -- нельзя, так как это неправда.

Кстати, саму идею, что возможна "математика-лайт" я считаю очень хорошей, и если ставить целью обучить чему-то на чисто "операциональном" уровне, то так можно подходить. Но при этом обязательно делать оговорки, что даётся лишь некий "аппарат" для работы с вещами, а не определения. Которые приводятся или "мелким шрифтом", или в более "продвинутых" курсах.

> "Пусть рухнет мир, но восторжествует правосудие"

Такой мир, в котором начинают врать, рухнет сам по себе. Враньё в тех ситуациях, где можно легко говорить правду -- это, по сути дела, вещь богохульная.

Проникновенная речь! Проникся. Снимаю шляпу, Вы человек, который нередко решается принести в жертву своё время и энергию для того, чтобы красиво, доходчиво, честно, и, наконец, убедительно сформулировать мысль.

Желаю дальнейших успехов в этом направлении. Благодаря таким постингам начинает теплиться вера в лучшее в людях.

Спасибо! Я считаю, что времени как раз жалеть не следует, так как любые затраты по разъяснению важных вещей окупаются всегда. Одна хорошо понятая вещь избавляет от необходимости многократно тратить мыслительные усилия. Это одна из самых выгодных стратегий вкладывать "мыслительный капитал"! :)

И в таком стиле до сих пор многие мыслят, отождествляя разные вещи, которые как-то между собой связаны. Из-за этого постоянно возникает путаница в головах, выходящая далеко за пределы математики.
---

Вы тоже считаете, что математика царица наук?

> Вы тоже считаете, что математика царица наук?

Не совсем так. Дело в том, что само разделение познания на отдельные "науки" есть вещь во многом условная и упрощённая. Не так-то просто отделить, что относится к математике, а что не относится. Здесь, как правило, играют роль сложившиеся традиции.

Но вот в чём я точно убеждён, так это в том, что в основе правильного понимания математики лежат вещи из "доматематического" и "дологического" пласта. Я такие вещи привык относить к области методологии, то есть учения об общих принципах деятельности. Особая роль математики проявляется в том, что для её постижения очень желателен правильный подход с точки зрения методологии. Это своего рода "счастливый шанс" -- дело в том, что почти нигде в этом подходе больше нет необходимости, а здесь его можно освоить "попутно". Если это сделать, то многие вещи кардинально проясняются и упрощаются.

Это своего рода "счастливый шанс" -- дело в том, что почти нигде в этом подходе больше нет необходимости, а здесь его можно освоить "попутно". Если это сделать, то многие вещи кардинально проясняются и упрощаются.
---
хм. тогда лица, познавшие математику "правильно", должны доминировать в этом мире. между тем, я знаю только двух людей с математическим образованием, оставивших выдающийся след в русской истории: Герцена и Солженицына.

ПС
нарком, а затем министр госбезопасности при "чудесном грузине" В.Н.Меркулов
проучился только три или четыре курса физмате. хе-хе

> лица, познавшие математику "правильно", должны доминировать в этом мире

Вы здесь исходите из предположения, что люди, познавшие те вещи, о которых я здесь говорю, должны тут же ринуться в бой, преобразуя действительность, добиваясь успеха и начиная "доминировать". Но это ниоткуда не следует. Результат может быть как раз обратным. А именно, нежелание что-либо портить даже в качестве "приманки" в виде личной успешности.

Более того, я не вижу необходимости в специализации именно на математике. Ведь польза здесь идёт от общего подхода, от умения работать с понятиями и вещами. При этом совсем не обязательно изучать какие-то специальные разделы математики.

И вообще, здесь совсем по-иному устроена сама схема влияния. Тот, кто овладел "правильным подходом", далее оказывает скорее "идейное" влияние. Хотя денег за это не платят, но это тем не менее можно рассматривать как своего рода достижение.

Главное здесь -- это понимать, какие вещи на самом деле важны в процессе познания. Это позволяет сосредоточиться на главном, легко игнорируя всякую "ерундистегу" типа псевдовопросов о том "что такое наука" или "премудростей" типа "силлогистики Аристотеля".

Интересно что незрячий с 14-ти лет академик Понтрягин ратует за
"простое и наглядное" понимание вектора а зрячие учителя и ученики
должны оперировать абстрактным "переносом"

Вы повторяете то же самое, что говорят буквально все. Но вдумайтесь в один совершенно очевидный факт: геометрические преобразования (включая повороты, переносы и прочее) есть вещь максимально наглядная! Здесь намного меньше "абстрактности", чем в других подходах.

То понимание вектора, о котором говорил Понтрягин, есть не что иное как фактический отказ от самого понятия. То есть можно работать с направленными отрезками, а вектор как понятие просто не определять. Не надо только говорить при этом вещи, которые приводят к логическому противоречию.

Я не понимаю, что может быть "нагляднее" идеи, что если мы указали две различные точки A и B, то тем самым мы задали направление и расстояние, на которые полагается сдвигать все точки плоскости и пространства -- от A по направлению к B на расстояние AB. Что в этом всём непонятного?

Я прекрасно знаю, что кажущаяся "непонятность" происходит от того, что в сознании не сформировался прочный "мостик" между старым и новым представлением. То есть непонимание того, что от "стрелочки" перейти к параллельному переносу и наоборот. Поэтому по сути эти вещи задают одно и то же. А что лучше взять в качестве формальной основы понятия -- это вещь непринципиальная. Обычно берут то, что проще всего изложить. В данном случае трюк с введением параллельных переносов -- это самый простой и элегантный путь.

Я, кстати говоря, считаю, что наглядность -- это основа основ, и без неё никуда. Но при этом надо уметь переводить с "родного" или "внутреннего" языка, на котором мы думаем, на то формально-математическое "эсперанто", которое позволяет без искажения доносить мысли. Необходимость этого вызвана тем, что "родной" язык у каждого свой. И очень важна та основа, которая позволяет в принципе избежать "вавилонского столпотворения".

А все "абстракции" я как раз очень не люблю и всегда стараюсь их избегать. Обычно они только мешают. Я вообще всегда обхожусь без них. Для меня любое понятие всегда наполнено конкретным содержанием и связано с реальностью, причём очень многими способами.

> "Неканонично", конечно, определения "должны" быть одним предложением.

Именно от этого "канонического" требования и надо в первую очередь отказаться. Здесь вся "неэстетичность" связана только с попыткой следования устаревшему шаблону. Он неудобен, и он сильно конфликтует с современным подходом. Который очень хорошо зарекомендовал себя в программировании: всё строится "пошагово", при помощи понятных мелких этапов.

Главное требование -- всё должно быть понятно и прозрачно, и ни в коем случае не должно быть ничего "сложного". Оно тут же подлежит "измельчению".

То есть надо отдельно определять параллельный перенос как преобразование плоскости, описывая конкретную процедуру. Далее определять вектор как параллельный перенос (в учебнике по геометрии за 7-й класс так и было!), указывая на связь между понятием направленного отрезка и понятием вектора: по каждому направленному отрезку AB мы можем однозначно восстановить параллельный перенос (сдвиг), переводящий A в B. Это просто, понятно и наглядно. А определение сразу же получается инвариантным. Это вообще очень удачная методическая находка, причём школьники на самом деле способны это хорошо понимать. Они только не должны к "ювелирной" конструкции добавлять "отсебятину". А то "аглицкая блоха" перестанет делать "дансе" :)

Дело в том, что тензоры лучше всего изначально определять инвариантно, без "привязки" к конкретной системе координат. И только потом на основе этого получать как определение через наборы чисел -- с автоматически возникающим законом их преобразования. Запоминать при этом требуется минимум вещей.

У меня в журнале не было ничего на эту тему -- я обычно пишу что-то скорее связанное с логикой, и вообще с "дискретными" областями. Имеет смысл посмотреть то, что писал Авва -- он совершенно блестяще умеет излагать вещи.

http://avva.livejournal.com/1931325.html
http://avva.livejournal.com/1944537.html

Я ещё хотел бы добавить, что мнение о тензорах как о чём-то "непонятном" связано, как мне кажется, с неудачными попытками представлять их себе в виде привычных геометрических объектов. Это вряд ли возможно сделать в полной мере (кроме случаев "малой размерности"), и лучше даже не пытаться. Ведь наша потребность что-то себе представлять порождена всего-навсего желанием иметь к вещам "быстрый доступ". Но способов этого достичь очень много. Просто их круг не надо искусственно сужать за счёт попыток вложить в то или иное "прокрустово ложе" :) Есть много более подходящих "обителей" :)

Тензоры изначально вводились для описания напряжений (tensions) в твердом теле и имели вследствие этого размерность два (то есть два индекса). Как напряжение в твердом теле они замечательно интерпретируются как геометрические объекты (линейная связь между внутренней силой и площадкой).

Математики, как правило, мутят.

Частные случаи -- когда число индексов невелико -- вполне допускают геометрическую или физическую интерпретацию. Я об этом и сказал выше. Важно то, что в общем случае искать какие-то наглядные образы не имеет смысла.

> Математики, как правило, мутят.

Общее определение оказалось востребовано как математиками, так и физиками. А вся "муть" исходит только от плохого стиля изложения, который до сих пор господствует. Именно для того, чтобы постепенно разгрести "авгиевы конюшни", и нужен именно тот подход, который я неизменно пропагандирую. То есть в духе "колмогоровской программы". На таком пути все "свинарнеги" превращаются в блистающие дворцы, и это даже почти не метафора.

Физикам не нужны определения, физикам нужны операции. Математикам, на самом деле, тоже, просто они иногда строят операции над определениями, оттого они и впали в казуистику, стали придавать значение строгости.

Я ещё хотел бы добавить, что мнение о тензорах как о чём-то "непонятном" связано, как мне кажется, с неудачными попытками представлять их себе в виде привычных геометрических объектов. Это вряд ли возможно сделать в полной мере (кроме случаев "малой размерности"), и лучше даже не пытаться.

Наоборот, геометрическое (операционное) представление о векторах, таковое же предстваление о тензорах (в изначальном смысле, 2-го порядка) - все это дает возможность рассуждать для тензоров высших порядков по аналогии, формально. Именно что нужно пытаться действовать ясной, геометрической, непосредственно воображаемой аналогией, и потом обобщать ее. А не мутить дело ниоткуда явно не следующими оговорками.

> Физикам не нужны определения, физикам нужны операции.

Вы, как я понимаю, имеете в виду, что физикам требуются не столько формальные понятия, сколько умение с ними эффективно работать. Это верно, но то же самое относится к любой области деятельности -- в том числе к математике. Но мы живём не в безвоздушном пространстве. И поэтому нам требуется много всего, что выходит за рамки чисто внутренних потребностей того или иного предмета. Например, людям нужны юридические законы, которые при этом должны быть записаны в чёткой и однозначной форме. Когда мы заняты бытом, нас это всё не интересует, но в трудных случаях типа конфликтов, без законов приходится туговато.

Ясно, что законы -- вещь вспомогательная по отношению к основному виду деятельности. Можно вообще их даже не знать, и при этом не нарушать. Примерно так подходят многие физики и "прикладники" по отношению к формальным математическим определениям. Но надо помнить, что у этих вещей ровно такой же статус как и у юридических законов. Аналогия эта весьма глубокая. В обоих случаях речь идёт не о чём-то "абсолютном" -- многое можно было бы поменять или определить по-другому. Но при этом ясно, к чему могло бы привести отсутствие законов.

Я сам против того, чтобы "строгости" придавать повышенное значение -- интуиция всё-таки поглавнее будет. Можно работать с вещами "неформализованными", но при этом все вещи должны называться своими именами.

> и потом обобщать ее

К сожалению, это не всегда возможно.

> мутить дело ниоткуда явно не следующими оговорками

Я не знаю, о каких "оговорках" Вы говорите. Я не могу отсюда заключить, отвергаете ли Вы какую-то "мишуру", или же пытаетесь изгнать совершенно необходимый для "цивилизованного" подхода дух "юриспруденции".

> Физикам не нужны определения, физикам нужны операции.

Вы, как я понимаю, имеете в виду, что физикам требуются не столько формальные понятия, сколько умение с ними эффективно работать. Это верно, но то же самое относится к любой области деятельности -- в том числе к математике. Но мы живём не в безвоздушном пространстве. И поэтому нам требуется много всего, что выходит за рамки чисто внутренних потребностей того или иного предмета.

То есть Ваша строгость - это не от математики? Правильно я Вас понял?

Например, людям нужны юридические законы, которые при этом должны быть записаны в чёткой и однозначной форме. Когда мы заняты бытом, нас это всё не интересует, но в трудных случаях типа конфликтов, без законов приходится туговато.

Это все верно, но верно для конфликтов и разборов, когда начинается изучение понятий, то есть операции над определениями. Так вот - юридические законы придуманы специально для конфликтов, точнее, для действий в условиях разнонаправленных интересов. Я не думаю, что юриспруденция является прямым аналогом математики, что мы должны заимствовать стиль.

Вот смотрите, есть бытовое знание "вещи падают вниз". Если попробовать написать это в Вашем стиле "называния своими именами", то получится "вещи, то есть материальные объекты постоянной массы с плотностью больше плотности окружающей жидкой или газообразной среды, падают, то есть приобретают ускореное движение, вниз, то есть в сторону близлежащей гравитирующей массы, обычно планеты, при условии что наблюдение ведется в галилеевой системе отсчета, окружающая среда не двигается или ее движением можно пренебречь при вычислении силы, действующей на тело со стороны среды по отношению к силе гравитации со стороны вышеупомянутой гравитирующей массы, и на тело не действуют магнитные, электростатические или иные силы." Уф-ф. А вертолет по этому определению как себя должен вести?

Ну и как, это можно считать "называнием своими именами"? Не думаю. Это пурга. Гон пурги.

> Ваша строгость - это не от математики?

Нет, не от математики. Это чисто внешнее требование, оно скорее от методологии исходит. Я вообще не очень люблю такие выражения как "строгость", потому что они сами довольно "нестрогие" :) И предъявлять завышенные требования к уровню формализации я бы тоже не стал.

Тот пародийный текст, который Вы привели, является как раз образцом "наукообразия", от которого надо уходить. Критерием является ясность и простота. Сложные вещи должнв определяться "пошагово", и никаких длинных фраз типа "а это пшеница которая в тёмном чулане храниццо" быть, конечно же, не должно. Про "воздух" и прочее говорить вообще не надо, так как правильно рассматривать с самого начала "идеализированную" модель. При этом вопрос о разного рода "помехах" в теории и не возникнет, а применять ли на практике -- это вопрос отдельный, и им должны заниматься "ниженеры" :)

Инерциальность систем отсчёта оговаривается один раз в "преамбуле", и повторять это каждый раз не нужно. И поймите, что я выступаю не за "академический" стиль, а скорее наоборот!

Поэтому "вещи падают вниз" -- это совершенно корректно и понятно. А вот когда говорят, что "время замедляется", то это я считаю "похабщиной", и так говорить нельзя. Это "суржик" какой-то, признак безграмотности и невладения языком. Против такой "фени" я выступал не один раз.

Вот как Вы думаете, почему очень многие люди считают, будто у Лобачевского "параллельные пересекаются"? Это как раз тот вид мышления, против которого я и выступаю. Тут дело в незнании даже не столько формальных определений, сколько заложенного в понятия изначального смысла.

А когда иной раз доводится беседовать с инженерами или "прикладниками", то они ведь самые простые мысли выражают настолько коряво, что просто диву даёшься! Хотя на содержательном уровне они вроде что-то такое даже знают.

Отлично. Так что же такое вектор? Ну и биссектриса, заодно.

Если дословно переводить слово vector, то будет "перенос".

Я не понимаю, к чему Вы клоните. Прежде всего, сама постановка вопроса типа "что такое вектор?" уже неправильна. Говорить можно лишь о том, как определяется вектор в рамках того или иного учебного курса. Определения при этом могут быть разные.

А второе замечание я не понял -- оно выглядит как аргумент в пользу той концепции, которую многие здесь почему-то невзлюбили.

Не нравится мне определение вектора:
"Вектором (параллельным переносом), определяемым парой (А, В) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка М отображается на такую точку М1, что луч ММ1 сонаправлен с лучом АВ и расстояние [ММ1] равно расстоянию |АВ|".

Предлагаю улучшить его в сторону ясности, непосредственной представимости. Пытаюсь доказать, что строгость - мешает, выглядит как попытка обороняться в отсутствие противника.

Нужно - оставить в уме у ученика понятие вектора, ясное и допускающее дальнейшее использование. Как? Какими словами?

Вот я сейчас изложу всё по пунктам, а Вы скажете, есть ли в этом какие-то вещи, которые могут быть непонятны человеку с обычным уровнем интеллекта. Я что-то далее рассказываю, а человек за мной рисует простенькие картинки.

Для простоты будем говорить о плоскости, а не о пространстве, так как во всех этих определениях нет никакого отличия.

1) Представим себе на плоскости две различные точки A и B. Допустим, что в точке A сидела маленькая букашка, которая далее переползла по прямой из A и B. Будем далее называть её "образцовой".

2) Возьмём произвольную точку M и посадим туда ещё одну букашку. Дадим ей такую инструкцию: переползти в том же направлении и на то же расстояние, что и "образцовая".

3) Прежде всего, надо задать то же направление. Как это сделать? Нужно через точку M провести прямую m, параллельную прямой AB. Это можно сделать только одним способом ввиду Пятого Постулата Евклида.

4) Точка M делит прямую m на два луча, один из которых показывает то же направление движения, что и от A к B, а другой -- противоположное направление. Выделим тот луч, который сонаправлен лучу AB. Это укажет букашке направление, куда она должна ползти.

5) Теперь надо задать расстояние. Для этого изготовим линейку длиной AB, перенесём её, и отмерим на нашем луче расстояние, равное AB. То есть приложим линейку к лучу, чтобы её левый конец совпал с точкой M, и правый конец тогда окажется в той точке, куда должна переползти наша букашка. Эту "точку назначения" обозначим через M1.

6) Перед тем, как отправить букашку в путь, посмотрим на рисунок. Что мы видим? Есть луч AB, и есть сонаправленный луч MM1. При этом расстояние AB равно расстоянию MM1. Теперь букашка из точки M благополучно перемещается в M1.

7) Описанная процедура показывает, как точки плоскости сдвигаются в одном направлении на одно и то же расстояние. Эта и только эта ключевая формулировка подлежит запоминанию, так как в ней содержится вся информация о том, что такое параллельный перенос.

Это и даёт нужное определение, если мы хотим отождествить понятие вектора с понятием параллельного переноса.

Кстати говоря, в учебнике, который цитирует Понтрягин в своей статье из журнала "Коммунист", вся процедура параллельного переноса сначала детально описана, и только затем повторена в виде формулировки "жирным шрифтом". Которая, если бы она появилась сама по себе, без предварительного разъяснения, и в самом деле могла бы произвести впечатление чего-то совершенно непонятно откуда взявшееся.

Резюмируем: вектором называется параллельный перенос плоскости или пространства. Такой перенос можно задать, указав упорядоченную пару точек (A,B), которые задают направление сдвига (переноса) и то расстояние, на которое должны сдвигаться все точки. Получается вектор, который далее обозначается через AB со стрелочкой наверху.

Если есть конкретные возражения против такого плана -- милости просим. Равным образом, принимаются предложения о том, как можно то же самое понятие определить по-другому (короче, понятнее, корректнее etc).

Ну вот смотрите, вслед за мной Вы тоже написали нечто, похожее на "пародийный текст". На самом-то деле, знание людей о том, что вещи падают вниз, существует не в текстовом виде, как запись в базе правил экспертной системы, а прямо так, непосредственно. Видит над собой человек что-то нависающее и сразу начинает беспокоиться - "не упало бы". Оттого, кстати, и воздушные шарики забавны - они противоречат непосредственному знанию.

Так и вектор. Люди непосредственно понимают что такое вектор. Те, разумеется, которые понимают и которые умеют эффективно работать с этим пониманием. И тут перед нами стоят две (три, но об этом позже) задачи: 1) передать человеку понимание в виде максимально эффективном, в том виде, в каком его использут эффективно мыслящие люди, и 2) артикулировать основные шаги которые могли бы дать человеку некое понимание, пробиться через запутки, перепайки. Видно, что это задачи для двух типов учеников: для наиболее продвинутых и для пограничного случая, для людей предположительно способных к пониманию основных абстракций (а, полагаю, это все-таки не все люди).

Я забочусь о случае 1. Случай 2 тоже важен, и важен практически.

Я бы давал понятие так: 1. Вектором называется, например, перенос. 2. Скорость является вектором, поскольку за время dt тело перемещается (переносится) на dx, дать другие примеры вектора аналогичным образом (сила, э/м поле).
В варианте для задумчивых будет еще
3. Поставить ведро на кафельный пол квадратами, попереносить его туда-суда на (x,y) квадратов. 4. Объяснить независимость вектора от системы координат.

Люди которые и этого не понимают должны иметь возможность что-то заучить и не париться по этому поводу. То есть задача 3, которая на самом деле слабо отделима от задачи 2. Но комбинация 2-3 и комбинация 1-2 - две совершенно разных образовательных системы.

> Вы тоже написали нечто, похожее на "пародийный текст"

Ни в коем случае! Мой текст совершенно серьёзен. То, что я для "оживляжа" включил туда букашек, то это вполне нормально. Я и в научных докладах такие приёмы использую -- слушатели это любят.

Можно сказать, что я что-то чересчур детализировал. Но это для того, чтобы не осталось ничего "непонятного". Вы же говорили о "непонятном", вот я и хотел увидеть, в каком оно пункте. "Итемизация" для этого и была применена.

Кстати, само по себе детальное "прорисовывание" процедуры параллельного переноса -- вещь совершенно естественная для курса школьной геометрии. Там примерно в таком же стиле осуществляют построения при помощи циркуля и линейки, описывая всё пошагово.

Заметьте, что в том определении, которое было объявлено "непостижимым", сказано то же самое, только в "компактной" форме. Я уже обращал внимание, что в учебнике перед текстом определения (которое, вероятно, полагалось заучивать) имелось детальное разъяснение. Расчёт был на то, что человек прочитает, поймёт суть и назначение построений, а потом опишет. Сделать это не труднее, чем пересказать сюжет короткого фильма.

> Люди непосредственно понимают что такое вектор

Слово "вектор" вообще-то многозначно, и люди постоянно путаются из-за этого. Есть "школьные векторы", о которых мы говорим. Есть абстрактное "вузовское" понятие вектора как элемента линейного пространства. Есть, наконец, координатные векторы -- как элементы n-мерных арифметических векторных пространств.

О каком наглядном представлении, которое есть у всех, Вы говорите? МОжет быть, о том, что это "стрелочка"? Но такой уровень всё-таки не всех устраивает, и для людей, которые хотят понять материал на более глубоком уровне, нужна формализация. Она также нужна для математиков-профессионалов, нужна она и в целях коммуникации -- чтобы не оказалось, что каждый говорит на своём собственном удобном ему жаргоне.

Понятно, что после введения формального определения, и закрепления некого фиксированного смысла за понятием вектора, не происходит "утраты": любимые "стрелочки" по-прежнему можно использовать. Они задают векторы.

К тому же, учебники всегда пишутся так, что предусмотрена ситуация, когда человек с новым словом сталкивается впервые.

> Я бы давал понятие так: 1. Вектором
> называется, например, перенос.

А каково тогда отличие от того, о чём говорилось выше? В учебнике сказано то же самое, но при этом предварительно разъяснено, что такое перенос.

То, как надо интерпретировать векторы в физике -- этим пусть занимаются на уроках физики. Но, желательно всё-таки без опытов со швабрами :)

> Объяснить независимость вектора от системы координат.

Это уже какой-то нонсенс. Понятие параллельного переноса определялось на геометрической плоскости, на которой не была выбрана система координат. Как же тогда оно может "зависеть"? А если Вы систему координат выбрали, то каждый вектор приобретает числовые координаты. Которые, конечно, зависят от того, какая сисетма рассматривается.

Я сторонник того, чтобы говорить акууратно. Вот что у Вас скрывалось за пунктом 4? Вы отдаёте себе в этом полный отчёт?

> Вы тоже написали нечто, похожее на "пародийный текст"

Ни в коем случае! Мой текст совершенно серьёзен. То, что я для "оживляжа" включил туда букашек, то это вполне нормально. Я и в научных докладах такие приёмы использую -- слушатели это любят.

Ну так и мой тоже был серьезен. Для случая, когда человек, втянув голову в плечи, ждет, что к его словам будут придираться. Обычно не придираются, потому и обычно так не говорят.

> Люди непосредственно понимают что такое вектор

Слово "вектор" вообще-то многозначно, и люди постоянно путаются из-за этого. Есть "школьные векторы", о которых мы говорим. Есть абстрактное "вузовское" понятие вектора как элемента линейного пространства. Есть, наконец, координатные векторы -- как элементы n-мерных арифметических векторных пространств.

О каком наглядном представлении, которое есть у всех, Вы говорите? МОжет быть, о том, что это "стрелочка"?

Конечно, это "стрелочка". Возможно, в компонентах. Я ж говорю - понятие. Но с возможностями расширения до вектора, скажем, Гильбертова пространства.

Но такой уровень всё-таки не всех устраивает, и для людей, которые хотят понять материал на более глубоком уровне, нужна формализация. Она также нужна для математиков-профессионалов, нужна она и в целях коммуникации -- чтобы не оказалось, что каждый говорит на своём собственном удобном ему жаргоне.

Кто определяет и что не устраивает? В соответствии с какими требованиями не устраивает? При коммуникации, согласен, нужны оговорки. Но тут уже оговорки должны быть решением проблемы конкретной коммуникации в конкретной ситуации, а не ложиться непосильным грузом на обсуждение базовых вещей.

> Я бы давал понятие так: 1. Вектором
> называется, например, перенос.

А каково тогда отличие от того, о чём говорилось выше? В учебнике сказано то же самое, но при этом предварительно разъяснено, что такое перенос.

А почему тогда Вы считаете пародийным разъяснение что такое "вещи падают"? Почему "перенос" надо разъяснять? Взяли и перенесли. Мешок с картошкой. Что непонятного?

> Объяснить независимость вектора от системы координат.

Это уже какой-то нонсенс. Понятие параллельного переноса определялось на геометрической плоскости, на которой не была выбрана система координат. Как же тогда оно может "зависеть"? А если Вы систему координат выбрали, то каждый вектор приобретает числовые координаты. Которые, конечно, зависят от того, какая сисетма рассматривается.

Я сторонник того, чтобы говорить акууратно. Вот что у Вас скрывалось за пунктом 4? Вы отдаёте себе в этом полный отчёт?

Отдаю полный. Сразу после демонстрации переносов по клеточкам оговаривается о том, что клеточки - представление, а вектор существует до представления.

А если мы вектор определили через представление, то он обязан преобразовываться определенным образом при замене координат.

> Конечно, это "стрелочка". Возможно, в компонентах. Я ж говорю - понятие. Но с
> возможностями расширения до вектора, скажем, Гильбертова пространства.

Я правильно Вас понял, что человек, не знающий формальных определений, а привыкший работать "просто так", не удивится, если вектором назовут "стрелочку", или набор (7,6,5,4) в качестве координатного вектора 4-мерного пространства, или даже нечто совсем "туманное", принадлежащее таинственному для "непосвящённых" гильбертову пространству? :)

Но не кажется ли Вам, что такой обрывочный набор сведений не всех удовлетворяет?

Кстати, я ещё не понял, что Вы хотели сказать фразой "Я же говорю - понятие?" Этим как бы подчёркивается некая ранее сказанная мысль, но какая? И что здесь видится альтернативой "понятию"? С таким же успехом можно было сказать, что "вектор" -- это слово такое.

> Взяли и перенесли. Мешок с картошкой. Что непонятного?

Минуточку, но мы ведь слово "перенос" понимаем не как перенос отдельной вещи, а как "правило переноса", когда несколько вещей переносятся по согласованному принципу! Вы перенесли мешок, я на Вас смотрю, и тоже перенесу мешок. Но Вы сделаете шаг на запад, а я -- два шага на северо-восток :) Это же будет не то, чего мы хотим!

> после демонстрации переносов по клеточкам

Так тут получается узкий частный случай! Почему направление переноса -- только вдоль осей? И для чего эти оси, если они только мешают и создают необходимость далее что-то проверять и обосновывать?

> клеточки - представление, а вектор существует до представления.

Это вообще кошмар. Если бы вместо прекрасно написанного учебника говорили такое, то я бы в математику точно не пошёл! :)

Вот Вы критикуете продуманную и понятную схему, а сами предлагаете вместо неё какой-то тихий ужас.

Я правильно Вас понял, что человек, не знающий формальных определений, а привыкший работать "просто так", не удивится, если вектором назовут "стрелочку", или набор (7,6,5,4) в качестве координатного вектора 4-мерного пространства, или даже нечто совсем "туманное", принадлежащее таинственному для "непосвящённых" гильбертову пространству? :)

А что тут удивляться? Нужно удивляться, если вектором назовут, а свертки (ака скалярного произведения) не определят.

Но не кажется ли Вам, что такой обрывочный набор сведений не всех удовлетворяет?

Допускаю. Важно ориентироваться не на помехи, а на способы преодоления помех.

Кстати, я ещё не понял, что Вы хотели сказать фразой "Я же говорю - понятие?" Этим как бы подчёркивается некая ранее сказанная мысль, но какая? И что здесь видится альтернативой "понятию"? С таким же успехом можно было сказать, что "вектор" -- это слово такое.

Что внутри у человека - непосредственное знание. Не слова, а понимание. Пытаясь отщепить понимание от понимающего получаем понятие.

Альтернативой понятию будет непонятность. Типа человек формально определение знает, правила применяет, но должен каждый раз губами шевелить. Потому как на самом деле без понятия.

> Взяли и перенесли. Мешок с картошкой. Что непонятного?

Минуточку, но мы ведь слово "перенос" понимаем не как перенос отдельной вещи, а как "правило переноса", когда несколько вещей переносятся по согласованному принципу!

Почуму не отдельной вещи? Чем отличается ветор переноса отдельной вещи от вектора переноса группы вещей или правила переноса? Откуда, кстати, взялись несколько вещей и правило?

Почему направление переноса -- только вдоль осей?

И действительно, почему? Кто ввел такое ограничение? Я не вводил.

>...вектор существует до представления.

Это вообще кошмар. Если бы вместо прекрасно написанного учебника говорили такое, то я бы в математику точно не пошёл! :)

Вот Вы критикуете продуманную и понятную схему, а сами предлагаете вместо неё какой-то тихий ужас.

Я всю жизнь изощрял себя в способах стырить чужое знание. Вот это - оно. Вынимаем крупные купюры, остальное выкидываем.

> Нужно удивляться, если вектором назовут, а свертки (ака скалярного произведения) не определят.

Вы, по-видимому, не знаете самый общий контекст, в рамках которого говорят о векторах. Согласно общепринятому стандарту, это делается тогда, когда объекты можно складывать между собой и умножать на "скаляры". То, что получается, называется линейным (или векторным) пространством. Никаких "свёрток" не нужно. А если имеется дополнительная структура, называемая скалярным произведением, то говорят о евклидовом пространстве. (Последнее не обязательно конечномерно.)

Вот яркий пример незнания базовой терминологии. Это явление далеко не безобидно, потому что люди начинают путаться. Я как-то говорил с одним довольно известным физиком, и он мне начал чего-то говорить про какие-то операторы в квантовой механике. Поскольку это не моя область, то я робко уточнил, о каких именно операторах и в каком пространстве идёт речь. В ответ я услышал нечленораздельное мычание.

> Пытаясь отщепить понимание от понимающего получаем понятие.

Никогда бы не догадался. То, что Вы описали, я привык называть представлением человека о вещи. Слово "понятие" зарезервировано в формальной логике. А также оно участвует в сленговых выражениях и в "блатной" лексике.

> Откуда, кстати, взялись несколько вещей и правило?

Это называется "приехали". Я думал, Вы поняли то, о чём я писал выше в "семи пунктах" (или сколько там их было). Хорошо, пускай это "формалистика". Оставим её. На практике приходится откладывать вектор от данной точки? Как это должно делаться? Если описать подробно, то будет равноценно предыдущему.

Я не знаю, что Вы понимаете под "параллельным переносом", но вообще-то это есть не что иное как перемещение плоскости. То есть правило, которое показывает, куда переходит каждая точка при сдвиге.

> Кто ввел такое ограничение? Я не вводил.

А кто говорил о перемещениях вдолб клеточек?

> изощрял себя в способах стырить чужое знание

Вот оно и видно! Вы пользуетесь, фактически, "пиратской" продукцией! Поэтому у Вас какие-то обрывки, путаница и прочее. При том, что Вы что-то при этом знаете и по содержанию. Не лучше ли весь этот сомнительный "софт" удалить, и установить себе хорошую "лицензионную" программу? :)

В отличие от многих видов софта, она совершенно бесплатна! :)

Не вижу возможности продолжать разговор.

Это очень важный коммент, и я на него отвечу позже в конце ветки. Сейчас у меня уже исчерпан "ресурс". Но тут со многим можно и нужно согласиться. При этом я считаю необходимым сказать о каких-то вещах более развёрнуто.

Сам этот коммент, поскольку он короткий, я для удобства читателей потом воспроизведу в виде цитаты.

Я в школе четко знал, что такое вектор. Это такая стрелочка.

Ну если определять вектор как перемещение, тогда понятно, как вектора складываются. А другой сторны, если определять вектор как направленный отрезок, тогда понятнее скалярное произведение векторов.

Прежде всего, для аксиоматического определения скалярного произведения, которое важно само по себе, как раз полезнее не вдумываться в "конкретику". Там только свойства важны, а они легко усваиваются. Но это уже вещь "вузовская". А если говорить о школьном понятии скалярного произведения, то я никаких проблем не вижу: у параллельного переноса есть чёткое направление сдвига, а также длина смещения. Откладываем от точки два луча, показывающее направления переноса, измеряем угол между ними. Далее перемножаем длины смещений и косинус этого угла. То есть тут нет никакой проблемы. К тому же никто не мешает пользоваться "стрелочками" -- зная сам параллельный перенос, мы можем отложить направленные отрезки от любой точки.

Преимущество здесь в том, что параллельный перенос уже есть готовый "инвариант", к которому можно обращаться. А при старом подходе надо определять, когда две "стрелочки", нарисованные в разных местах, задают один и тот же вектор. Это, вместе со всеми необходимыми проверками, так или иначе ведёт к необходимости осуществлять примерно те же построения, что и при определении параллельного переноса. Но в одном случае у нас "бесплатно" оказывается в распоряжении дополнительное удобное и наглядное понятие, а в другом -- этого нет.

Ага. "Направленный отрезок углового ускорения". Или "перемещение скорости". Это всё Абстракция и надо сразу оговаривать, что это абстракция. И понять это всё и принять могут далеко не все.

Словесные обороты, которые Вы привели, напомнили мне известную хохму под названием "математические следствия из работ Ленина". Один из выводов звучал так: "советская власть -- это коммунизм, минус электрификация всей страны" :)

То есть понятно, что буквальное использование каких-то математических понятий, помещённых в другой контекст, не может не приводить к абсурду. Причём заметьте, что Ваше "возражение" равным образом касается и того представления о векторе, которое было зафиксировано в "политехническом словаре" -- образце точности и премудрости :)

Кстати, уж если на то пошло, то представление о векторе как о параллельном переносе, то есть одном из движений -- это как раз должно помогать в механике!

Слово "абстракция" я бы вообще по возможности исключил из употребления, потому что оно только сбивает с толку. На самом деле правильно говорить в большинстве случае об "идеализации". Но даже если использовать старое полюбившееся всем клише, то надо оговаривать, от чего именно абстрагируемся (отвлекаемся). В ряде случаев это понятно: в примере с 10 яблоками и числом 10 как таковым, идёт отвлечение от указания на вид конкретных предметов, количество которых подсчитывается. А вот когда говорится о векторе, то от чего здесь абстрагируются? Это не так-то просто даже сформулировать. И о принятии чего именно здесь идёт речь?

То есть надо не просто заявлять о каких-то трудностях (они запросто могут быть), а надо ещё прояснять их суть. Если Вы это сделаете, то я, скорее всего, тут же укажу на способ их разрешения.

Хорошо, убедили, что определять вектор через параллельный перенос - канонiчнее.

> сейчас вместо этого вводят определения по-дикому -- сначала для острых углов через треугольники, потом распространяют на другие углы

а почему не через единичную окружность?

> почему не через единичную окружность?

Об этом стоило бы спросить самих "разработчегов" этой идеи. Я считаю, что этот является никуда не годным, но в принципе я понимаю, почему так поступили. Прежде всего, в "новой" (или "колмогоровской") программе была взята за основу идея геометрических преобразований, и поэтому достаточно рано вводилось понятие поворота на произвольный угол. Без этого готового средства достаточно трудно корректно описать нужную точку единичной окружности. А также считалось, по-видимому, что ученики должны быстро уметь находить синусы и косинусы "популярных" углов. Здесь так или иначе всё равно приходится рассматривать отношения сторон прямоугольного треугольника. Получается как бы быстрее, но я думаю, что эта "экономия" в конечном счёте приводит к явлениям типа "скупой платит дважды".

Понятно, что назыать вектор "направленным отрезком" достаточно неумно. Но и то определение тоже ни к чёрту.

На самом деле вектор это объект, который МОЖЕТ быть представлен, например, набором действительных чисел. Эти объекты обладают некиими свойствами, над ними можно совершать некии операции. И в таком же ключе надо давать и другие определения.

Например , взятие производно - это такая операция, ставящая в соответствие одной функции - другую функцию. Даем свойства этой операции. И лишь затем конкретизируем эту операцию.
Кстати, в алгебре именно так и дается определение производной :)

В этом вопросе методистами давно продуманы все ходы и выходы. Совершенно ясно, что ограничиваться координатным определением вектора как упорядоченного набора чисел, недостаточно. Я могу обосновать, почему, если хотите.

А что касается аксиоматического подхода к определению производной, то он явно неудостаточен. Как при этом вычислять производную синуса или логарифма, например? И зачем заранее сталкиваться со списком непонятно откуда взявшихся свойств? Потом же всё равно произойдёт конкретизация, и придётся что-то проверять. То есть никакого облегчения от этого не будет.

С определённым интегралом от непрерывной функции ещё более или менее действует аксиоматический подход -- так иногда делали в некоторых матшколах. Но это как раз и есть уклон в "абстракцию", против которого здесь все так выступают. И я как раз в этом вопросе солидарен с выступающими: "абстракционистики" должно быть по минимуму!

Критериев у меня, по сути, два: 1) говорить только правду 2) описывать всё по возможности так, чтобы запоминать приходилось как можно меньше.

Вопрос терминологический, условны. Но в целом вы, т. Галковски, правы и неправы одновременно. Скажем, мне, как инженер, математика очень даже нужна. Но есть у меня страшное подозрение, что нужна она мне именно потому, что я ей владею. Рядом со мной работаютмои колеги, математикой не владеющие. И знаете, как-то обходятся, при необходимости я их консультирую, решаю задачки для них, разрабатываю алгоритмы, реализую эти алгоритмы в виде программ.
Так что, вы, т. Галковски, правы и неправы одновременно :)

> По правде если, то математики нет.

Мне как раз такая точка зрения близка, но несколько в ином смысле. Не в плане востребованности обществом, а скорее в желании её "растворить". То есть хотелось бы, чтобы она перестала быть "наукой", а стала чем-то вроде искусства, развлечения. Чтобы на математические темы можно было говорить в обычном "застольном" разговоре так же запросто, как люди говорят о футболе или о кино.

Я уже не раз ловил себя на мысли, что гораздо плодотворнее говорить на математические темы в сообществах, или с коллегами, нежели участвовать в так называемых конференциях, от которых пользы очень мало. Время тратится на многочасовое выслушивание скучнейших докладов -- вместо простого общения.

В связи с этим нельзя не вспомнить времена, когда жил Пьер Ферма, и когда работа юристом -- это была работа, а математикой (причём весьма "продвинутой" для того времени) люди занимались на досуге, теоремы доказывали в письмах друг к другу.

Вообще, хотелось бы прежде всего изгнать дух "официоза". Сейчас, кстати, многие тенденции установились сами собой -- все тексты стали доступными электронно, и исчезла проблема библиотек. Математикой сейчас одинаково легко можно заниматься, живя хоть в Нью-Йорке, хоть в Урюпинске :)

По поводу сведения математики к логике: это довольно "модная" точка зрения, но она применима только если говорить о математике, скажем так, "аксиоматизированной". Тогда любой результат есть вывод из аксиом по правилам -- действие, укладывающее в рамки того, что можно назвать "логикой".

Но есть и другой взгляд, при котором математик -- это естествоиспытатель, и он изучает тех же "зверушек", только математических. Аксиом при этом вообще нет, есть какие-то непосредственно устанавливаемые из действительности факты. И здесь лишь часть усилий относится к построению доказательств. А остальное -- это наблюдения, размышления, сопоставления и всё прочее. То есть деятельность столь же слабо формализуемая, как встреча рассвета на морском берегу или наблюдения за жизнью горных коз :)

Но это касается научной стороны дела. А что касается учебной, то исходя всего лишь из идеи "школения", вряд ли стоит отказываться от наиболее подходящей для этого "почвы". Ведь не к древним же языкам возвращаться.

Я бы ещё выделил тот момент, о котором на днях вспоминали много раз -- насчёт "ум в порядок приводит". Вот я тут поговорил с людьми, у которых программа мышления -- "политехническая" (причём мне такие люди попадаются постоянно -- я уже давно привык). Ну вот то, что они написали -- оно само за себя говорит, и я даже не буду как-либо это характеризовать. Когда встречаешь человека, у которого есть какая-то другая "программа" -- таких, кстати, немало среди "гуманитариев" (например, филологов), то контраст возникает разительный. От таких людей исходит какой-то свет. А когда говоришь с теми, кто прошёл мимо этой сферы -- там "сопромат", неумение строить фразы, и "руки в мазуте" :)

Я думаю, что реальная ситуация намного хуже, а далее она будет ещё ухудшаться. Вот у меня сейчас на первом курсе учатся студенты 1991 года рождения, то есть они родились ещё в СССР. А дальше уже начались "реформы", рождаемость упала, там вообще даже набирать некого. Но это проблема отдельная. Суть совсем в другом.

Дело в том, что сама идея сравнения тех или иных разделов по сложности и доступности, не должна базироваться на критериях 60-х или 70-х годов. Тогда просто "контингент" был совсем другой, и многие вещи те люди умели делать даже не задумываясь. Почти любая задача предполагает умение надёжно выполнять самые простые операции типа раскрытия скобок или деления столбиком. Когда-то это умели "все", и речь могла идти только об овладении или неовладении новыми разделами. То есть можно было говорить о достижении какого-то уровня. Вот этот уже освоил тригонометрию, а тот застрял на теме "геометрическая прогрессия". Тогда была "лестница", а сейчас у неё просто какие-то ступеньки провалились и на них нельзя опираться! Поэтому в определённых местах приходится перескакивать :)

И поэтому сама мысль о том, что труднее всего дойти до верхних ступенек, уже неприменима. "Провалиться" можно и в середине, если не туда ступить. А кое-какие верхние участки доступны до сих пор. Отказ от изучения начал анализа ситуацию только ухудшит, потому что там на самом деле очень много посильного материала -- когда для решения нужно применять какие-то "накатанные" методы. Есть, например, техника вычисления производных, всё осуществляется по готовым формулам. Это до сих пор делают без проблем люди даже не очень сильные. И если убрать то, о чём Вы говорите из соображений непосильности, то получится только хуже: дети окажутся как раз в наиболее опасной части, где "лестница" испытала наибольшие повреждения.

По правде если, то математики нет. Это условность. И не нужна она никому. В предкомпьютерную эру было нужно массовое штампование людей с навечно прошитым "сопроматом", но человек-арифмометр с изобретением персональных компьютеров ушёл в прошлое. Вместе с "чертёжником" и т.д. Остаются крайне специализированные области гиперасчётов, но это доли процента, потребность в которых удовлетворяется суперпупервузами, которых несколько на крупное государство. Вот и всё.

Странно мне это утверждение.

Живем мы в цивилизации промышленной и технологической, успехи технологии зависят от продвижения в естественных науках - физике, химии, сопромате. И вот они, эти естественнонаучные успехи, демонстрируют настойчиво повторяющиеся сюжеты, называемые математикой, причем демонстрирую так, что говорят о "непостижимой эффективности математики в естественных науках". То есть успехи цивилизации зависят от математики. Конечно, это "гиперрасчеты", "доли процентов", но один Пушкин - уже поэзия.

Математика - есть.

Ну вот я, будучи инженером-химиком, однажды столкнулся с необходимостью оптимизировать кое-какие расчеты, свести получасовое сопение с карандашом и калькулятором с простенькому компьютерному скрипту. Самому мне было математику вспоминать лениво, я отнес систему уравнений программисту, тот за 20 минут упростил формулу до одной строчки с несколькими переменными, вбил эту строчку в excel (хаха), и уже полтора года вся контора этим расчетом успешно пользуется. До этого 30 лет считали вручную, тратили время.
Да здравствует симбиоз людей и математиков)

Похоже.

Ну вот и имеем типовые вопросы: 1) Что подтаскивать, 2) как оттаскивать и 3) как шуровать в результатах? 4) Каковы внутренние механизмы куба и 5) как мы можем влиять на них, чтобы решать вопросы 1)-3).

Это для аквариумистов, тех, кто не является участниками научного процесса. Для обитателей аквариума тоже есть вопросики.

1) Да нет, я скорее про подпитку кадрами. Субстат-то сделан из людей, стало быть нужно в куб добавлять людей, и людей нужного качества. То есть их нужно искать, мотивировать и готовить. Ну и кормить впоследствии. Ничего интеллектуального системе, автономной по определению - не нужно.

2,3) Вот тут-то и прикол. Самозатык случился сто лет назад. Дирак, например, для описания релятивистского электрона выдумал нечто, что позже было опознано как спинор, выдуманный Картаном. Птичий язык внутренней кодировки, неоптимальное внутреннее представление данных блокирует внешние запросы. Ну все равно как есть гугль, но только по по заголовкам на суахили текстов на суахили же.

4) Ваше мнение очень ценно для меня, без шуток. Кое-что стал по-настоящему понимать только последнюю пару дней. Что мышление-в-себя, это, похоже, так. Но это внешнее описание. А внутри что? Как сделано? Целая новая наука! Это ж дух захватывает от мысли какие гранты распилить можно!

5) Достучаться до Божества? Как бы оно не научилось достукиваться... Но все равно интересно. Вдруг научившись влиять на математиков мы заодно научимся влиять и на что-то еше?

// представьте себе, что физика с равным напряжением занималась бы изучением не только реального мира, а всех возможных и даже невозможных миров //

Физика занимается изучением В ТОМ ЧИСЛЕ И нереальных миров.
Но всегда в привязке к реальному (как выглядит наш мир на фоне вымышленных?). Например, физик смотрит на формулы, полученные для реального мира, и интересуеся тем, что будет, если имеющимся в них параметрам дать нереальные значения. Иначе как можно понять устройство реального мира? Если не сопоставлять реальность с тем, что мы можем в принципе придумать - наше знание бутет каким-то совсем уж пресным и плоским.

Особенно эта тенденция развилась за последние 20 лет, когда эксперименты в фундаментальной физике стали слишком дорогостоящими. Но и до того: разные модели - всегда разные идеализации реального мира, иногда ухватывающие довольно мало, но тем не менее всё же что-то ухватывающие от реальности. Какие-то модели, будучи абсолютизированными и расширенными в область воображения, со временем трансформировались в разделы математики. Например, гамильтонова механика; или путь от шлифовки линз для телескопов в 17 веке к римановой геометрии в 19 веке. Или от вращения волчка (Эйлер) к теории непрерывных групп (Ли).

Струны/суперструны тоже хорошо. "Десятимерное пространство-время".

Вот-вот. От попыток построить реалистическую физическую модель простейших протяжённых объектов (1960-е) - к полноценному разделу современной математики.

То же самое можно сказать о происхождении разных разделов современной топологии - от рассмотрения лихо закрученных полевых конфигураций. Добрая половина куба растёт прямо из физики, и мы видим этот рост.

// Она должна развиваться из себя и исходя из своих внутренних потребностей. Которые носят, может быть, эстетический характер. //

Структуры, угаданные из эстетических соображений, часто удивительным образом применимы к реальному миру. Особенно это проявилось в 20 веке - и об этом много пишут. В качестве ярких примеров приводят теорию спиноров, угаданную из вполне абстрактных разделов проективной геометрии, или теорию калибровочных полей (1954 год), на которой основана общепринятая Стандартная модель элементарных частиц. Некоторые построения (пока?) не находят выхода в практику (типа суперсимметричных моделей), но эстетические соображения уже успели зарекомендовать себя как инструмент построения физических моделей.

>Она должна развиваться из себя и исходя из своих внутренних потребностей.

Ага. Это Вы так считаете. А французский язык должен развиваться исходя из постановлений XXVII съезда КА... пардон, Французской Академии. Так считает Французская Академия.

В реальности всё несколько иначе.

>Которые носят, может быть, эстетический характер.

А эстетика математики определяется... её применимостью к реальному миру. Такие вот у ученых эстетические критерии.

С радостью бы прочитал развернутое определение (гх-м) науки. Начал понимать, что Вы имеете в виду, но, полагаю, что сочные детали могут быть еще добавлены.

Что математика представяет собой отчужденно-автономную систему с аномальной производительностью - отчего ж, учитываю. Практический взгляд на такое явление - это вопрос о том как можно привлечь математику в решению сиюминутных задач человеческого бытия: поиску смысла жизни, достижению бессмертия и освоению Солнечной Системы.

>Полагаю, что математика в более-менее серьёзных цивилизациях существует автономно.

Вот-вот-вот. Отчасти это так. Но не более чем отчасти - в современную эпоху развития знания. Но раньше "математикой" называли сильно другую деятельность. И прямо сейчас сам предмет "математики" сильно меняется. Это малозаметно из-за низкой скорости реагирования. но сам факт изменения целей и методов исследования говорит о глубокой НЕавтономности математики.

>Что касается чистого интереса "зверюшек посмотреть", то, повторяю, математики нет. Это частный случай логики.

Никак нет. Математика приняла форму логики сравнительно недавно. Отчасти - злонамеренно (Бурбаки) по соображениям совершенно для математики внешним (привет развитию математики из самой себя). И прямо сейчас из неё, из логической формы, вылезает. "Сбрасывает чешую."

А вы гляньте внимательнЕе!
Сказано же:"...например, набором числе...".

Рассмотрение вектора именно как ОБЪЕКТА впоследствие облегчит неимоверно многие вещи из функционального анализа, разного рода ряды Фурье и пр. и пр.

По производным: взятие производной (дифференцирование) есть частный случай отображения пространств. В данном случае, отображения пространства функций на самоё себя.

Что же касается дихотомии "абстрагиование/конкретизация", то дихотомия эта ложная, проистекающая из тех же соображений, что и "анализ/синтез", "единство и борьба противоположностей" и т.п.

Вот Вы меня, конечно, извините, но я постоянно сталкиваюсь с явлением, когда люди с ярко выраженным типом "инженерного" мышления начинают что-то предлагать из области методики. И это выглядит просто смешно. То есть людям, в силу того, что они этого всего не касались, вдруг приходит в голову какая-то идея, которая им почему-то кажется плодотворной или оригинальной. Но для меня это выглядит примерно так же, как если бы я к Вам явился и сказал, что вот я новую машину изобрёл. И описал бы, что вот корпус у неё -- квадратный, а справа -- такое красненькое колёсико! :)

Мне бы очень хотелось, чтобы Вы на меня за это замечание не обижались, а осознали, что всё именно так и есть. Потому что Вы что-то нетривиальное увидели в совершенно стандартной идее, что производная -- это отображение из множества (пространства) функций во множество функций. Но ведь это же так по определению, если говорить не о понятии производной функции в точке. Есть даже термин "оператор дифференцирования". То есть для меня дико выглядит само привлечение внимания к такому вопросу, и вообще непонятно, как он возник. Единственное подозрение у меня на то, что Вы считаете, будто производная определяется как-то сложно, а вот Вы пришли и определили её просто. Но Вы же никак не обошли проблему определять всё через предел отношения приращений! Потому что "внутри" оно так или иначе всё равно сидит, и выгоды нет никакой!

То есть это на уровне как если бы вместо описания паровой машины, которая сложно устроена, я бы сказал: а вот мы поместим её в корпус, все детали скроем, и будем говорить, что паровая машина -- это вот такой ящик! :)

> Сказано же: "...например, набором чисел..."

А здесь-то в чём новизна или облегчение? Разве это для кого-то секрет, что в частном случае можно рассматривать векторы как наборы чисел? Каково было назначение этого замечания? Какую трудность оно разрешает?

> Рассмотрение вектора именно как ОБЪЕКТА

Вот Вы меня, конечно, простите, но в сознании математика нет ничего, кроме "объектов". Что здесь имелось в виду как альтернатива? Что вектор -- это "субъект"? :)

Я, наверное, догадываюсь, что Вы имели в виду. На каком-то этапе появилась новая идея: говорить об элементах пространства функций как о векторах, рассматривать скалярное произведение, ортогональные системы и так далее. То есть Вы наверняка имели в виду это. И такой подход действительно очень полезен. Но почему Вы такими странными словами выразили простую мысль?

> дихотомия эта ложная

Я не знаю, какой смысл Вы в это вкладываете. Если тот, что такие вещи нельзя абсолютизировать, то это вне всякого сомнения. Но я-то ведь вполне понятный смысл вкладываю, а не такой, что все вещи строго подразделяются на два типа -- "абстрактные" и "конкретные".

У как сложно!

На самом деле моя мысль, возведённая вами в ранг открытия, очень просто - двигаться надо от простого к сложному, опираться на то, что человеку уже известно. И речь идет как раз о учащихся технических вузов, страдающим как раз от того, что одним математика вроде бы как не нужна, и они мучаился ются тем, что ее надо сдавать, а другие в ней очень нуждаются, но из-за обилия первых не могущих заняться как следет этим архиважным делом.

И вот такое объяснение на пальцах очень даже облегчает жизнь и первым и вторым.
Помнится, один студент-буровик (который скважины на нефть и газ бурит) мучился над рядами Фурье. Столило ему объяснить это дело в терминах векторной алгебры и скалярного проихзведения, сразу все понял, и сдал математику на пять :)

Так что вы совершенно правы, странными словами я выразил именно эту простую мысль.
================
Единственно, я ничего не понял про "инженерное мышление"? Что это такое?

Я с конца начну.

> не понял про "инженерное мышление"? Что это такое?

Это очень типичное явление, и оно обладает массой хорошо узнаваемых особенностей. Ярчайшим примером в этой ветке является господин xclass. Если почитать то, что он тут написал, то те принципы, которые он отстаивает -- это оно самое и есть :)

Я сейчас кое-что скажу по этому поводу, но это не надо воспринимать как критику. Это всего лишь вскрытие особенностей. Конечно, я не буду скрывать, что моё мышление "антиинженерно" -- я по типу являюсь "исследователем", а это нечто противоположное. Поэтому пишу я здесь как бы "пристрастно", своих личных вкусов не скрываю, но стараюсь соблюдать какую-то меру объективности.

Расскажу такой случай. Когда я был аспирантом, нас посылали участвовать в проверке работ школьной олимпиады в один подмосковный город. Там были представители нескольких вузов, и в частности, с физтеха. Возникли споры насчёт победителя по одному из классов. Многие показали совершенно одинаковый результат. Физтеховцы отобрали одну из работ, в которой решение некой задачи показалось им очень "крутым". В задаче какой-то мальчик покупал тетрадки, и надо было расходы минимизировать. Всё довольно просто сводилось к нахождению минимума функции типа y=78-2x на неком отрезке. Все сделали это самым обычным и естественным способом. А в той работе, которая восхитила физтеховцев, задача была решена с помощью производной! Класс, в котором предлагалась эта задача, был вроде бы восьмой, то есть это ещё до изучения производных.

И вот когда мне они стали хвалить это решение, то я в ужас пришёл. Эти люди не понимали совершенно простой вещи из серии "откуда что берётся". А именно, одной из главных идей, которая была в центре внимания "отцов-основателей". Что всякую "хорошую" функцию можно локально приблизить графиком касательной, и характер поведения функции будет такой же, как и у приближения. Например, это касается возрастания или убывания. И поэтому вопрос о возрастании сводится к аналогичному вопросу для линейной функции, для которой ответ считался очевидным ввиду элементарных свойств неравенств.

То есть тут было продемонстрирована некая особенность, как из анекдота про математика. Когда он усвоил способ "как вскипятить чайник", и когда его спросили, что делать, если чайник уже стоит на плите и почти закипел, то он сказал, что надо выключить газ, вылить воду и "свести задачу к предыдущей"! :)

То есть на самом деле это всё не по адресу, смеяться тут надо не над математическим мышлением. Они же стали меня горячо убеждать, что математика -- это аппарат, и что им надо просто пользоваться. Задачи на экстремум решаются при помощи производной. Вот, взяли и применили. Главное же -- это уметь "применять", а всё остальное -- от лукавого.

Вот это показывает одну из главных особенностей мышления, которое я условно назвал "инженерным". Часто говорят о "технарях" или как-то ещё.

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ; ПРОСЬБА ЗДЕСЬ НЕ ОТВЕЧАТЬ!

Вот я даже на Вашем примере берусь это немного проиллюстрировать, но уже как бы "по мелочи". Вы сразу поставили в центр внимания студента технического вуза, хотя речь шла о школе. Далее, озвучили очень типичную жалобу студентов втузов. Высказали принцип "от простого к сложному", который очень любят повторять люди с технической "закваской". Вы также исходите из критериев простоты и сложности, типичных для определённой среды. Эти критерии отнюдь не всеобщи -- скажем, я бы предпочёл другие объяснения.

А в конце Вы привели вообще поразительный пример с буровиком. Получилось, что ему для понимания сути рядов Фурье помог переход на более высокий уровень абстракции! То есть это ровно то, что ставится в вину "новой программе", а также "бурбакизму". Ведь там как раз многое излагалось сначала "абстрактно" или аксиоматически, чтобы потом многократно применять в разных ситуациях! И тут получается, что студенту втуза помог именно такой подход!

Мне это кажется более чем парадоксальным. Потому что получается вот что. Опытные люди включают в программу абстрактные разделы типа теории групп, теории евклидовых простанств (общего вида, то есть включая пространства функций), зная, что это всё можно потом будет с эффектом применить и для рядов Фурье, и для всего остального. Многим не нравится такой подход, потому что изучаемые объекты появляются непонятно откуда и "про запас". К тому же применять их будут не все. И я лично -- ПРОТИВ "забегания вперёд", против излишне абстрактных вещей непонятного назначения. Они должны естественно возникать, а не с бухты-барахты. И получается, что Вы своим примером оказались в некотором роде "святее папы римского"! :)

Кстати, ещё "штрих" -- хотя безобидный совершенно. "Чистые" математики (с которыми я в основном и общаюсь) никогда не говорят "векторная алгебра". То есть по одному словосочетанию часто бывает можно установить род занятий и тип мышления. Типа, сказал "шаверма" -- значит, питерский! :)

Ну, "векторная алгебра" это так. Я, по чести говоря, и не знаю, что это такое. Знаю алгебру векторов. Просто у меня сын сейчас учится в инженерном вузе, и я часо от него слышу это словосочетание. Видимо, векторная алгебра это тоже самое, что и алгебра векторов.
Что до буровика, то что вас удивляет? Ясно же, что парню трудно было продраться через километры формул, арифметических, по сути, преобразований, окончательная цель которых - вычислить коэффициенты при синусах и косинусах. Эти же коэффициенты получаются весьма просто через скалярное произведение в пространстве функций. Единственный ответственный шаг - перейти к понятию бесконечномерного пространства (несколько непривычного для технаря), в котором выделяется ортогональный базис. А выбор коэффициентов - переход к ортонормированному базису, только и всего.
===============================

Прошу прощения у публики, и, в первую очередь, у т. Галковски за засорение его ЖЖ всей этой белибердой.
А у falcao прошу извинения за эт маленькую повокацию. Впрочем, и ему ставлю в вину то, что он поддался на эту провокацию :)
==============================
Но продолжу. Объектный подход часто бывает просто единственно возможным. Например тогда, когда надо быстро объяснить, что такое ООП - объектно-ориентированное программирование.

Выражение "алгебра векторов" намного хуже, чем "векторная алгебра". Второе -- это название учебного курса в некоторых вузах (но не на мехмате МГУ, конечно, где все факты оттуда разнесены по другим курсам или разделам). А что означает первое -- можно только гадать. Но это вопрос непринципиальный.

То, что Вы описали сейчас насчёт базисов -- это мне с самого начала было понятно. То есть я, конечно же, знаю, как работает сама "метода". Меня не это удивило, а то, что абстрактный подход был оценён человеком, который сам не является математиком. Вы можете сказать, типа, а что тут такого что оценил -- это же удобно! Так в том-то всё и дело, что я знаю много примеров, когда "абстрактные" вещи прекрасно работают, но это не ценят и не понимают! И приходится иной раз делать уступку и рассказывать "кондово". Но это я не про Фурье, а про другое.

Я никакой провокации, честно говоря, не заметил, и потому даже не знаю, на что я "поддался" :)

Что касается "объектов" -- понятия, скажем так, общефилософского, то у меня был шанс понять Вас только в одном случае -- если бы Вы сказали с самого начала сказали "ОБЪЕКТ в смысле ООП". Без этого добавления получалась нелепость, а так -- совершенно понятно. Но ведь сам подход рассматривать векторы как эелементы некой структуры с заданными операциями возник задолго до программирования как такового. Хотя идея
здесь, по сути, та же.

Однако в применении к рядам Фурье, не эта идея сработала, а другая. Это когда догадались рассмотреть функции как векторы и задать их скалярное произведение. Там ведь ортогональность двух функций никак не просматривается через их графики, то есть это нечто более глубоко скрытое.

Я думаю, по этой теме всё более или менее прояснилось.

Кстати, этот же подход очень полезен в вычислительных методов. Например, при обосновании нахождении коэффициентов при аппроксимации табличных зависимостей. Нужно сделать только еще один шаг, чтобы уйти отортогональных базисов.
================
Алгебра векторов очень простое словосочетание, аналог "алгебры матриц", "алгебры комплексных числе" и т.д. Попрост говоря - описание операци над объектами - векторами, матрицами, комплексными числами.

> аналог "алгебры матриц"

Это я понимаю, но дело в том, что здесь слово "алгебра" выступает как строгий научный термин. Разъяснить его смысл можно очень коротко: говорить о том, что имеется "алгебра" каких-то объектов можно тогда, когда на этих объектах можно выполнять естественные операции сложения, вычитания, умножения (между собой), и ещё есть внешняя операция умножения на скаляры. Всё это как раз можно делать с квадратными матрицами данного размера, а также с комплексными числами.

Но с векторами дело в общем случае обстоит не так, поскольку для них нет операции умножения. Скалярное произведение не подходит, так как это не есть операция над векторами: двум векторам сопоставляется здесь не вектор, а скаляр. Векторное же произведение есть "экзотика", и определяется оно только для трёхмерного случая.

В словосочетании "векторная алгебра" слово "алгебра" имеет смысл уже не строгого термина в смысле алгебраической структуры, а чего-то более "расплывчатого".

Векторное произведение есть экзотика, согласен. Однако утверждение того, что оно (ВП) определяется только для трехмерного случая - неверно. На самом деле для всех размерностей, начиная с двух.

Векторное произведение аксиального вектора на полярный это, на самом деле, умножение антисимметричной матрицы на вектор. В случае 3Д число параметров антисимметричной матрицы рано трем, и матрицу можно представить в виде вектора. В общем случае это не так.

Число независимых элементов антисимметричной матрицы (N-1)*(N)/2, что равняется N только ля случая N=3.

Предлагаю заглянуть сюда. Я имею в виду раздел "Размерности, не равные трём". Откуда хорошо видно, что работает всё как следует только в размерности 3, а для других -- получается что-то совсем не то. Слишком велики "потери", и слишком мала практическая значимость. Тут нет ничего удивительного: с какими-то "потерями", в системах определённого вида можно даже на ноль делить -- они называются "wheels". Другое дело, что это нигде не применяется.

Даже для обычного векторного произведения в трёхмерном случае утрачивается сочетательный закон умножения, то есть с алгебраической точки зрения это уже плохо. Но сама конструкция -- чисто как "аппарат", удобна для физики. И только поэтому её применяют.

> выучишь, все равно не поймешь

Так ведь эта формулировка не предназначена для заучивания! Само по себе "заучивание" есть вещь из старого подхода! В том и смысл, чтобы его отменить.

Если ученик один раз понял саму идею параллельного переноса, то он очень легко развернёт длинную формулировку -- ему просто нет нужды её запоминать. В этом и смысл того подхода, когда усваивается идея, а потом её в любой ситуации можно развернуть как "скатерть-самобранку" :)

> Но дифференциальное и интегральное исчисление это вещь очень большому числу совершенно нормальных и часто умных людей НЕДОСТУПНАЯ

А тригонометрия и вписанные / описанные окружности, по вашему, доступнее?

Математика вообще для здравого смысла неестественна почти вся (ну, кроме примитивной арифметики вроде денежных расчетов). Её усвоение - вопрос не доступности, а привычки. Заставьте школьника решить достаточно большое число задач из любого раздела математики - и этот раздел станет ему доступен. Любому, я гарантирую. Вопрос исключительно в количестве задач.

А без понимания функций и функционального исчисления, в том числе интегрирования и дифференцирования, в современной науке далеко не уедешь. Даже в гуманитарных областях.

Математика вообще для здравого смысла неестественна почти вся

Математика - это именно здравый смысл. Квинэссенция. Ничего, кроме здравого смысла.

>Математика вообще для здравого смысла неестественна почти вся (ну, кроме примитивной арифметики вроде денежных расчетов). Её усвоение - вопрос не доступности, а привычки. Заставьте школьника решить достаточно большое число задач из любого раздела математики - и этот раздел станет ему доступен. Любому, я гарантирую. Вопрос исключительно в количестве задач.

А без понимания функций и функционального исчисления, в том числе интегрирования и дифференцирования, в современной науке далеко не уедешь. Даже в гуманитарных областях.

В этом "описании принципа работы вечного двигателя" есть слабое место, сбой. Выделено жирным. Почти работает. Надо только заставить решить много задач.
Заставить-то нельзя. Можно научить на примерах решать типовые задачи. И то если у ребенка есть интерес к предмету.
Не типовые могут решать 3-4% всех школьников. Т.е. максимум 1 человек из каждой параллели. А то и 0.

"Интереса к предмету" в школе обычно нет ни у кого и ни к какому предмету. Образование - это всегда насилие.

Задача обычной школы - научить решать именно типовые задачи. Не типовые задачи олимпиадного уровня учат решать только в физмат школах. В компетенцую обычных школ не типовые задачи ве входят. Не забывайте, что решение каждой такой не типовой задачи в своё время было научной публикацией, люди на таких задачах защищали научные степени.

Да, это правильно. Сладостное "чистописание" отменили где-то в начале 70-х, то есть Вы уже не застали этого. Но вот я, как и мой ровесник (и однокурсник) rom777 -- имел дело.

а кто тут - "англоязычные"?
Главный "янглоязычник" тут, как известно, ни бельмеса в гадской мове...

я не использовал вовсе, а всего лишь поправлял того, кто использовал
"иностранные и заумные слова"

Англоязычные тут 90% читателей.

по-моему - 99%
все с верхним образованием, и гармонично развиты ))

Тогда уж "зупэа".

нет, истинно-правильно будет "зупыэ'Аа'"

впрочем, это зависит от диавлекта(с) (см. выше)

er звучит ровно эа ("ы" это как фантомная боль)

слушайте, тут меня вон обозвал товарищ "суперклюге", но вы, по-моему, еще "зуперее"

С мертвыми на мертвом языке.

ну, а с мертвыми долбоебами - лучше вообще не разговаривать

tschüss

про нас

низковато летите

к дождю, наверное

Интересно, кто и зачем заменил вполне очевидное "тожество" совершенно невероятным "тождеством"?