Аксиома 1. Пределы self-reference формулируются теоремами Геделя (произносится "гьодель").
Аксиома 2. Математика принципиально привязана к устройству окружающего мира. Если бы мир был устроен иначе, известные математические абстракции просто не возникали бы. Именно этим объясняется полная применимость ее абстракций к описанию внешнего мира.
Теорема 1. Konstantin Krylov is an obvious bullshitter and a raving maniac. (Доказательство оставляется читателю в качестве нетрудного упражнения)

Математика принципиально привязана к устройству окружающего мира.

хм... а каким образом например понятие "множества" привязано к устройству окружающего мира? просто интересно. по-моему множества в окружающем мире не встречаются, или как?

множество надмирно, это верно.
поэтому математика есть язык символов, тень от которых подходит и под описание мира.
хотя его устройство пожалую и тут не причем.
"но раздвинутый мир должен где-то сужаться"(с.)
вот Лосев, бродя по зоне думал о теории комплексной переменной, хотел работу об этом написать. жаль не успел.
тогда бы вкупе с "Филосовией Имени" ах как хорошо бы рошло.
эх...ма.

Труд "О Неисчерпаемости Теории Комплексной Переменной". Как говорят в Америке, WOW!! Такую идею необходимо подхватить и не дать ей упасть ;))))

пилите Шура, пилите, они золотые.(с)

Слава Континууму!
1. Буквы Ё у меня в конверторе нет, и я не могу напечатать "Гёдель"
2. "Мир пока что совпадает с математикой". Знакомо и почти уже не пугает. Как и профессор Ганнушкин, Embee симулянтов не любит, но у вас есть шанс.. "эне бене раба, квинтер финтер жаба". Хе-хе
3. "Вся математика -- это, в одном из смыслов, совершенно формальное оперирование символами. Если мы договоримся так, то получается вот этак."
Во-первых, оперирование в соответствии с логикой, мета-схемами рассуждений, по которым действует мозг человеческой обезьяны, созданный эволюцией для выживания в конкретном материальном мире и схемы удачны только для его условий.
Во-вторых, символы суть абстракции этого же мира, хотя иногда и довольно опосредованные (абстракция от абстракций и проч). Ну, интегралы для объемов, пушек и бочек. Затем "вообще". Затем обобщим в каких множествах будут определены и рассмотрим их как просто функции порождаемые "абстрактной" операцией от других функций. Затем рассмотрим их как элементы какого-нибудь пространства - абстракции поверх абстракций, но первые придуманы для конкретных задач, затем их обобщили и перенесли ПО АНАЛОГИИ в области других абстракций, затем перетащили что-нибудь куда-нибудь через изоморфию и так далее.
Но порождены все нашим миром вокруг, а вера в обособленность и "независимость" разума - пережиток эпохи, когда считали, что разум может все.

>не привязана к устройству "внешнего мира.
Этот момент веры по-моему. Но если задуматься о том, что считалось и считается математическм доказательством, то необходимо отметим (особенно на ранних стадиях) отсылки к некоторой очевидности, как раз из наблюдаемого мира происходящей.
В этом смысле, полагаю, привязана.
А навороченные конструкции конечно сами по себе: - существуют постольку-поскольку математики о них говорят.

Извините, Вы сами имеете ли опыт взаимодействия с Математикой или просто представляете взгляд извне? Потому что вот это - "ранних стадиях эволюции математики" звучит достаточно диковато.
Точка зрения, что можно "оперировать с произвольными множествами аксиоматик" является несколько несовременной (относится к началу ХХ века), не то чтобы ее сейчас опровергают, но имеется мнение, что ее следует преодолеть. Попробуйте глянуть например http://www.google.com/url?sa=U&start=3&q=http://www.dam.brown.edu/people/mumford/Papers/Dawning.ps&e=7370
-- точка зрения человека, блестяще себя проявившего в рамках парадигмы ХХ века и потому знающего истинную цену аксиоматическому подходу.

У Мартина Гарднера было весьма прикольно расписано, что мир может быть только
трёхмерным -- в пространстве размерности выше 3, не существует стационарных
орбит, а в размерности 2, 1 -- не может существовать развитый мозг, т.к. накладывается
ограничение на число попарных связей нейронов (K_5 не вложим в плоскость, по теореме Жордана; общая ситуация описывается теоремой Понтрягина-Куратовского).

Хорошо :-)

Мне тут, кстати, пришла в голову одна поправка и одно соображение.

Когда я сказал "формалистская абстракция", я вовсе не собирался ругаться :-) Абстракция -- полезная вещь в науке, такой важный инструмент. И эта формалистская точка зрения на математику была очень полезна и позволила в ХХ веке получить кучу интересных результатов, теорему Гёделя там, независимость аксиомы выбора от Цермело-Френкеля, ну и т.д. Но надо при том понимать, что это абстракция, и она "не всё объясняет".

И ещё вот какая вещь. Меня вполне резонно могут спросить, а зачем такая сложная теория нужна, не проще ли рассматривать математику как науку о внешнем мире, да и дело с концом. На мой взгляд, не проще, потому что тогда полезут разные дурацкие вопросы, типа "А где вы видели в мире число 666 в 666 степени?"

Я тоже не ругаюсь. :)

А ответ на вопрос: возьмем 666 разных банок краски и 666 маленьких нумерованных дощечек...

Вот тут про Математику кое-что написано:

"Математика (греч. mathematike, от máthema — знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира". ( Read More )

Спасибо за ссылку. Вот за это мне и нравится ЖЖ,- он представляет почти полный круг представлений и мифов о многих предметах.

Этому определению лет сто, кроме того давал его не математик, "как известно"...
Современное определение: "математика -- это искусство (наука, для желающих) решать задачи,
решать которые ещё не умеешь".